Aussagen mit Landausymbolen zeigen.

Question

Hallo, vielleicht kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen ?

Vielen Dank im Voraus.

Es ist folgende Folge vorgegeben:

$F+ := \{ (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R}:\space a_n> 0\space \forall n\in \mathbb{N}\}$.

Die Aufgabe ist , dass für $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}, (b_n)_{n\in \mathbb{N}}\in F+$ die folgenden Aussagen gezeigt werden sollen:

1.) $a_n ∈ o(b_n) ⇔ \frac{an}{bn}$ ist eine Nullfolge.

2.) $a_n ∈ \mathcal{O}(b_n) ⇔ \frac{an}{bn}$ ist beschränkt.

3.) Ist $0 < \lim\limits_{n→∞} \frac{an}{bn} < ∞$, so ist $a_n ∈ Θ(b_n)$.

Comments

Hallo,

die Bezeichnungen mit o und O sind nicht immer gleich; daher: Was ist Eure Definition von o und O?

Gruß Mathhilf

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Hey , klein o wächst langsamer und groß O wächst nicht wesentlich schneller. Vg

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Hallo,

die Bezeichnungen mit o und O sind nicht immer gleich; daher: Was ist Eure Definition von o und O?

Gruß Mathhilf

Ok, Deine Antwort hilft mir nicht weiter. Ich würde die Aussagen der Aufgabenstellung als Definition von o und O ansehen. Und Deine Erklärung als eine verbale Orientierung, aus der ich aber keine formalen Schlüsse ziehen könnte.

Gruß Mathhilf

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Ja, da Stimme ich dir zu die die Aussagen der Aufgabenstellung als Definition von o und O anzusehen.

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Aber was soll man dann zeigen?

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Es sollen die Aussagen auf Grundlage der allgemeinen Definitionen für Landau Symbole gezeigt werden.

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Hallo

dann schreib eure genaue Definition auf! , daraus muss sich die Behauptung ergeben denn die Behauptungen sind eine Möglichkeit der Definition.

Dein " klein o wächst langsamer und groß O wächst nicht wesentlich schneller." ist sicher nicht aus deiner Vorlesung oder Skript.

Gruß lul

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Hey: ) anbei die Definition

Es sei (an) eine Folge in ℝ und (bn) ∈ F+.

• Ist $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{bn}$ konvergent, so konvergiert die Reihe $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{an}$  absolut, falls |an| ∈ O(bn) gilt.

• Ist $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{bn}$ divergent, so divergiert auch die Reihe  $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{an}$, falls (an) ∈ F+ gilt und bn ∈ O(an) gilt.

Answer 1

Hallo :-)

Es ist folgende Folge vorgegeben:
$F+ := \{ (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R}:\space a_n> 0\space \forall n\in \mathbb{N}\}$.

Das ergibt keinen Sinn.

$F+ := \{ (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R}:\space a_n> 0\space \forall n\in \mathbb{N}\}$ ist eine Menge, unzwar die Menge der reellen Folgen $a_n$, welche strikt positiv sind!

Damit du diese Aufgabe überhaupt machen kannst, müsst ihr eine Definition zu den Landau-Symbolen gehabt haben.

Eine mögliche Definition ist:

Es sei $g: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$. Dann definiert man jeweils

(1)  $$\mathcal{O}(g):=\{f:\ \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}:\ \exists \alpha>0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N} \ \forall n\geq n_0:\ \underbrace{0\leq f(n) \leq \alpha \cdot g(n)}_{0\leq f(n) \text{ und } f(n)\leq \alpha\cdot g(n) } \}$$

-> $f$ wächst also bis auf eine Konstante vor $g$ höchstens so schnell wie $g$.

(2)  $$\Omega(g):=\{f:\ \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}:\ \exists \beta>0 \ \exists n_1 \in \mathbb{N} \ \forall n\geq n_1:\ \underbrace{0\leq \beta \cdot g(n) \leq f(n)}_{0\leq \beta\cdot g(n) \text{ und } \beta\cdot g(n)\leq f(n) } \}$$

-> $f$ wächst also bis auf eine Konstante vor $g$ mindestens so schnell wie $g$.

(3)  $$\Theta(g):=\mathcal{O}(g)\cap \Omega(g)$$

-> $f$ wächst also bis auf eine Konstante vor $g$ genauso schnell wie $g$.

(4)  $$\mathcal{o}(g):=\{f:\ \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}:\ \forall \gamma>0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N} \ \forall n\geq n_0:\ \underbrace{0\leq f(n) \leq \gamma \cdot g(n)}_{0\leq f(n) \text{ und } f(n)\leq \gamma\cdot g(n) } \}$$

-> $f$ wächst also bis auf eine Konstante vor $g$ höchstens so schnell wie $g$.

Kommt dir so eine Definition vielleicht bekannt vor?

Comments

Hallo hallo97 ja kommt mir bekannt vor. Leider weiß ich immer noch nicht, wie ich die Aufgabe mit den Aussagen lösen kann. Kannst du mir da bitte unter die Arme greifen?

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Leider weiß ich immer noch nicht, wie ich die Aufgabe mit den Aussagen lösen kann.

Beschreibe das bitte genauer. Im Prinzip sollst du ja nur Definitionen anhand von gegebenen Funktionen nachweisen.

Was fällt dir zuerst ein, wenn du sowas siehst? $a_n ∈ o(b_n)$

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Hi, ich muss die selbe Aufgabenstellung bearbeiten und hab es folgendermaßen versucht(zur (a)):

a_n ∈ O(b_n) ⇒ ∃C>0 : a_n ≤ C·b_n ⇒  $\frac{a_n}{b_n}$ ≤ C

⇒ $\lim\limits_{n\to\infty}$  $\frac{a_n}{b_n}$ = g ≤ C

⇒ da C eine echte Zahl ist, existiert g ≠ ∞ und damit ist $\frac{a_n}{b_n}$ beschränkt

Rückrichtung würde ich analog beweisen, bin mir nur bei dem Weg an sich nicht sicher, würde mich über Feedback freuen

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an ∈ O(bn) ⇒ ∃C>0 : an ≤ C·bn ⇒  $\frac{a_n}{b_n}$ ≤ C

Das ist nicht vollständig. Guck dir genau die Definition zur O-Notation an.

Rückrichtung würde ich analog beweisen

Ja, das kannst du so machen.

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an ∈ O(bn) ⇒ ∃C>0 ∃n₀ ∈ ℕ ∀n≥n₀ : an ≤ C·bn ⇒  $\frac{a_n}{b_n}$ ≤ C

Wäre das so Korrekt? Ansonsten steh ich auf dem Schlauch in Bezug auf was ich übersehen haben könnte.

Insbesondere war ich mir im ersten Kommentar nicht sicher, ob ich wie dort einfach so den Limes auf den Ausdruck anwenden kann?

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Wäre das so Korrekt? Ansonsten steh ich auf dem Schlauch in Bezug auf was ich übersehen haben könnte.

Ja, das passt schonmal. Jetzt musst du noch kurz begründen, warum $\frac{a_n}{b_n} \leq C$ zeigt, dass $\frac{a_n}{b_n}$ beschränkt ist. Allgemein gilt das ja für $\left |\frac{a_n}{b_n} \right |\leq C'$. Aber warum kann hier auf die Betragsstriche verzichtet werden?

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Die Betragstriche müssten man doch auflösen können mit der Begründung das beide Folgen Element von F+ sind, wie in der Einleitung beschrieben und somit nur positive Folgenglieder besitzen was den Betrag irrelevant macht

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Ja, so ist es.

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Perfekt

Danke für die Hilfe