Konvergenz überprüfen mit Konvergenzkriterien

Question

Aufgabe:

$$ \text {Die Reihe} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{3k+(-1)^k} \text { soll mittels der Konvergenzkriterien auf Konvergenz untersucht werden.} $$

$$ \text {Wegen der} (-1)^k \text {habe ich mir gedacht, das Leibniz Kriterium anzuwenden.} $$

$$\text{Dafür müsste man zuerst die} (-1)^k \text {"ausklammern".} $$

Problem/Ansatz:

$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{3k+(-1)^k}  = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{3k-(-1)^k}{(3k+(-1)^k)*(3k-(-1)^k)} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{3k-(-1)^k}{9k^2-1}$$

Ab da komme ich nicht mehr weiter.

Answer 1

Aloha :)

Wenn du den Nenner vergößerst, wird der Bruch kleiner:$$\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{3k+(-1)^k}\ge\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{3k+1}=1+\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{3k+1}\ge1+\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{4k}=1+\frac{1}{4}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k}$$

Jetzt kannst du die Konvergenz der harmonischen Reihe \(\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k}\) untersuchen oder die Erkenntnis aus der Vorlesung / Übung nutzen, dass diese Reihe dirvergiert.