DGL aufstellen radioaktive Substanz

Question

Aufgabe:DGL aufstellen

Sei n(t) die Anzahl der Atome einer radioaktiven Substanz zur Zeit t ∈ [0,oo) . In guter Näherung ist die Anzahl der Atome, die in der Zeitspanne dt zerfällt, proportional zur
gerade vorhandenen Anzahl n(t) und zur Zeitspanne dt. Hierbei werde die Proportionalitätskonstante mit λ bezeichnet.

Problem/Ansatz: Ich denke es müsse wie folgt aussehen: dn(t)/dt = n_o(t)*y*dt

was meint ihr?

Answer 1

Aloha :)

Die Anzahl \(\Delta n\) der Atome, die in der Zeitspanne \(\Delta t\) zerfällt ist proportional zur gerade vorhandenen Anzahl \(n(t)\) und der Zeitspanne \(\Delta t\). Allerdings mit einer Proportionalitätskonstante \(\lambda\):$$\Delta n\approx\lambda\cdot n(t)\cdot\Delta t\quad\implies\quad\frac{\Delta n}{\Delta t}\approx\lambda\cdot n(t)$$

Im Grenzübergang \(\Delta t\to0\) wird die linke Seite zum Differentialquotienten und die Näherung wird exakt:$$\frac{dn}{dt}=\lambda\cdot n(t)$$

Das \(n_0\) aus deiner Lösung gehört nicht in die Differentialgleichung, denn die gilt ja zu jeder Zeit \(t\). Du kannst die Anzahl \(N_0\) der Atome zu Beginn der Zeit \(t=0\) als Randbedingung \(n(0)=N_0\) angeben.

Answer 2

Zerfallsgesetz

(n2-n1)+N(t)*b*(t2-t1)=0  ist die Gleichgewichtsbedingung

t1=0 Zeit zum Zeitpunkt t=0

t2= Zeit zum Zeitpunkt t2=..

n1=zerfallene Atomkerne zum Zeitpunkt t1=0

n2=zerfallene Atomkern zum Zeitpunkt t2=..

geht nun das Zeitintervall gegen Null,dann ergibt sich

dn+N(t)*b*dt=0

dN=-b*N(t)*dt trennen der Veräderlichen

dN/N(t)=-b*dt integriert

∫dN/dN(t)=-b*∫dt

ln(N(t)=-b*t+C  

N(t)=e^(-b*t+C)=e^(-b*t)*e^(c)  Potenzgesetz a^(r)*a^(s)=a^(r+s)

N(t)=e^(-b*t)  mit e^(c)=konstant=C=No

N(t)=No*e^(-b*t)