Zeigen Sie, dass(bn)n∈N, nicht aber(an)n∈N, nach oben beschränkt ist.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Folgen(a_n)_n∈N,(b_n)_n∈N mit a_n= 2ⁿ/n, b_n = n!/nⁿ für alle n∈N.

Zeigen Sie, dass(b_n)_n∈N, nicht aber(a_n)_n∈N, nach oben beschränkt ist.

Problem:

Hey kann mir bei dieser Aufgabe jemand weiterhelfen?

Answer 1

Aloha :)

Mit dem binomischen Lehrsatz können wir $(a_n=\frac{2^n}{n})$ für $n\ge2$ wie folgt abschätzen:

$$2^n=(1+1)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot1^k\cdot1^{n-k}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\stackrel{(n\ge2)}>\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\implies$$$$a_n=\frac{2^n}{n}>\frac{n-1}{2}\to\infty$$Wie sich durch Probieren herausstellt, gilt diese Abschätzung auch für $n=1$. Daher ist $(a_n)$ unbeschränkt.

$(b_n)$ können wir wie folgt abschätzen:$$0\le b_n=\frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdot\frac{3}{n}\cdots\frac{n}{n}\le\frac{1}{n}\cdot\frac{n}{n}\cdot\frac{n}{n}\cdots\frac{n}{n}=\frac{1}{n}\implies$$$$0\le b_n\le\frac{1}{n}\le1$$

Answer 2

Hast du dir die Arbeit gemacht, für beide Folgen wenigstens mal die ersten 5 Folgenglieder zu berechnen?