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Aufgabe:

Wir betrachten die Folgen(an)n∈N,(bn)n∈N mit an= 2n/n, bn = n!/nn für alle n∈N.

Zeigen Sie, dass(bn)n∈N, nicht aber(an)n∈N, nach oben beschränkt ist.


Problem:

Hey kann mir bei dieser Aufgabe jemand weiterhelfen?

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Aloha :)


Mit dem binomischen Lehrsatz können wir (an=2nn)(a_n=\frac{2^n}{n}) für n2n\ge2 wie folgt abschätzen:

2n=(1+1)n=k=0n(nk)1k1nk=k=0n(nk)>(n2)(n2)=n(n1)2    2^n=(1+1)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot1^k\cdot1^{n-k}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\stackrel{(n\ge2)}>\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\impliesan=2nn>n12a_n=\frac{2^n}{n}>\frac{n-1}{2}\to\inftyWie sich durch Probieren herausstellt, gilt diese Abschätzung auch für n=1n=1. Daher ist (an)(a_n) unbeschränkt.


(bn)(b_n) können wir wie folgt abschätzen:0bn=n!nn=1n2n3nnn1nnnnnnn=1n    0\le b_n=\frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdot\frac{3}{n}\cdots\frac{n}{n}\le\frac{1}{n}\cdot\frac{n}{n}\cdot\frac{n}{n}\cdots\frac{n}{n}=\frac{1}{n}\implies0bn1n10\le b_n\le\frac{1}{n}\le1

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Hast du dir die Arbeit gemacht, für beide Folgen wenigstens mal die ersten 5 Folgenglieder zu berechnen?

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