Mathematik - Vektoren & Skalarprodukt anwenden

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - könnten Sie mir bitte bei folgender Aufgabe helfen und meine Antworten gegebenenfalls korrigieren?

Gilt immer - gilt nie - es kommt darauf an

Entscheiden Sie sich bei jeder Aufgabe für eine der Optionen & begründen Sie Ihre Wahl.

a) Der kleinere Winkel zwischen zwei Geraden ist ein spitzer.

→ gilt immer, da wenn sich zwei Geraden schneiden, lassen sich stets zwei Winkel berechnen: ein spitzer Winkel (= zwischen 0° und 90°) und ein stumpfer Winkel (= zwischen 90° und 180°)

b) Wenn zwei Vektoren \( \vec{u} \) & \( \vec{v} \) senkrecht zueinander stehen, gilt: cos(a) = (u * v)/|u| * |v| = 0

→ gilt immer, da wenn das Skalarprodukt null, so folgt, dass cos(α)=0 ist

c) Bei kollinearen Vektoren ist ihr Skalarprodukt gleich dem Quotienten ihrer Längen.

→ es kommt darauf an; Begründung fehlt mir jedoch

d) Für zwei parallele Geraden g und h mit den Richtungsvektoren \( \vec{u} \) & \( \vec{v} \) gilt: \( \vec{u} \) & \( \vec{v} \) sind linear abhängig und \( \vec{u} \) * \( \vec{v} \) = -|u| * |v|. (über |u| & |v| stehen eig. Pfeile)

→ k.A.

Vielen Dank!

Answer 1

a) Der kleinere Winkel zwischen zwei Geraden ist ein spitzer. → gilt immer, da wenn sich zwei Geraden schneiden, lassen sich stets zwei Winkel berechnen: ein spitzer Winkel (= zwischen 0° und 90°) und ein stumpfer Winkel (= zwischen 90° und 180°)

Außer bei 90°, da gibt es keinen spitzen Winkel

b) Wenn zwei Vektoren \( \vec{u} \) & \( \vec{v} \) senkrecht zueinander stehen, gilt: cos(a) = (u * v)/|u| * |v| = 0 → gilt immer, da wenn das Skalarprodukt null, so folgt, dass cos(α)=0 ist  ✓

c) Bei kollinearen Vektoren ist ihr Skalarprodukt gleich dem Quotienten ihrer Längen. → es kommt darauf an;

denn wenn sie entgegengesetzt orientiert sich, ist es negativ, ansonsten allenfalls das Produkt der Längen.

Quotient nur bei gleichorientierten Einheitsvektoren.

d) Für zwei parallele Geraden g und h mit den Richtungsvektoren \( \vec{u} \) & \( \vec{v} \) gilt: \( \vec{u} \) & \( \vec{v} \) sind linear abhängig und \( \vec{u} \) * \( \vec{v} \) = -|u| * |v|. (über |u| & |v| stehen eig. Pfeile)

nicht immer, siehe c) bei gleicher Orientierung ohne minus.

Answer 2

Hallo,

a) richtig, aber ich würde noch ergänzen, dass das stimmt, solange die Geraden nicht orthogonal zueinander sind, denn dann sind die beiden Winkel gleich

b) richtig

c) Die Aussage ist falsch, da das Skalarprodukt gleich dem Produkt ihrer Längen ist.

d) Es kommt darauf an. Bei zwei parallelen Geraden sind die Richtungsvektoren linear abhängig.

(\vec{u}\cdot \vec{v}=-|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|\) gilt nur dann, wenn die Richtungsvektoren in entgegengesetzte Richtungen zeigen.

Gruß, Silvia