Zeigen Sie, dass die Mengen Untervektorräume von R^R sind

Question

Es sei ℝ^ℝ der R-Vektorraum aller Abbildungen von ℝ nach ℝ Zeigen Sie, dass die Mengen
U = { f∈ ℝ^ℝ : f(x) = f(-x) für alle x ∈ ℝ}
W = {g ∈ ℝ^ℝ : g(x) = -g(-x) für alle x ∈ ℝ}
Untervektorräume von R^R sind. Zeigen Sie ferner, dass gilt U∩W = {0} und U+W = ℝ^ℝ

Answer 1

U+W = ℝ^ℝ

Ist \(f\in \mathbb{R}^\mathbb{R}\) und \(u: \mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto \frac{1}{2}\left(f(x) + f(-x)\right)\) und \(w: \mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto \frac{1}{2}\left(f(x) - f(-x)\right)\), dann ist \(u\in U\) und \(w\in W\) und \(f = u+w\).