Zeigen Sie, dass für alle v ∈ R^m gilt v^t A v = v^t A_(sym) v.

Question

Aufgabe:

Für eine Matrix A ∈ Matm R definieren wir
Asym :=1/2(A + A^t) und Aasym :=1/2(A − A^t)
Zeigen Sie, dass für alle v ∈ R^m gilt v^t A v = v^t A_(sym) v.

Analog zum symmetrischen
Fall nennen wir A positiv definit, falls v^t A v > 0 für alle v ∈ R^m gilt.

Problem/Ansatz:

Dann wäre ja

v^t A v = v^t A_(sym) v= v^t 1/2(A+A^t) v jedoch würde das nur stimmen wenn A hermetisch ist?

Answer 1

Hallo,

es ist einfach

$$v^tA^tv=(Av)^tv=v^t(Av)$$

Die erste Gleichung gilt nach den Rechenregeln für das Transponieren, die zweite, weil das Objekt einfach eine Zahl ist.

Gruß Mathhil

Comments

Ich verstehe das nicht ganz:

Warum ist dann geziegt dass v^t Av = v^t A_sym v. A_sym ist ja nicht das selbe wie A^t?

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Vielleicht schaust Du noch einmal auf Deinen Post und fährst mit der Zeile nach "Dann wäre ja" fort.