Zeigen Sie, dass A+A^{\top} ∈ \mathbb{K}_{ {sym }}^{N \times N} für alle Matrizen A ∈ \mathbb{K}^{N \times N} gilt.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Abbildung

\( \varphi: \mathbb{K}^{N \times N} \rightarrow \mathbb{K}^{N \times N}, \quad A \mapsto \frac{1}{2}\left(A+A^{\top}\right) \)

den Untervektorraum \( \mathbb{K}_{\text {sym }}^{N \times N}=\left\{A \in \mathbb{K}^{N \times N}: A=A^{\top}\right\} \) der symmetrischen und \( \mathbb{K}_{\text {anti }}^{N \times N}=\left\{A \in \mathbb{K}^{N \times N}: A=-A^{\top}\right\} \) der antisymmetrischen Matrizen.

(a) Zeigen Sie, dass \( A+A^{\top} \in \mathbb{K}_{\text {sym }}^{N \times N} \) für alle Matrizen \( A \in \mathbb{K}^{N \times N} \) gilt.
(b) Zeigen Sie, dass die Abbildung \( \varphi \) linear ist.

(c) Bestimmen Sie Bild, Kern, Defekt und Rang von \( \varphi \).
(d) Zeigen Sie \( \mathbb{K}^{N \times N}=\mathbb{K}_{\text {sym }}^{N \times N} \oplus \mathbb{K}_{\text {anti }}^{N \times N} \).

Das ist die einzige Aufgabe, die mir noch fehlt und ich verstehe sie überhaupt nicht :(

Falls mir jemand bei irgendeiner Teilaufgabe helfen könnte wäre das mega schön :)))

Danke im voraus

Answer 1

Fang mal mit einer beliebigen Matrix A an:

\(  \begin{pmatrix} a_{11} &  a_{12} & \dots &  a_{1N} \\ a_{21} &  a_{22} & \dots &  a_{2N}  \\  \dots & \dots &\dots &\dots \\ a_{N1} &  a_{N2} & \dots &  a_{NN}  \end{pmatrix}    \)

Dann ist A^T =\(  \begin{pmatrix} a_{11} &  a_{21} & \dots &  a_{N1} \\ a_{12} &  a_{22} & \dots &  a_{N2}  \\  \dots & \dots &\dots &\dots \\ a_{1N} &  a_{2N} & \dots &  a_{NN}  \end{pmatrix}    \)

Jetzt brauchst du ja die Elemente auf der Hauptdiagonalen des

Und die Summe ist dann ja

\(  \begin{pmatrix} a_{11}+a_{11} &  a_{12}+a_{21} & \dots &  a_{1N}+a_{N1} \\ a_{21}+a_{12} &  a_{22}+a_{22} & \dots &  a_{2N}+a_{N2}  \\  \dots & \dots &\dots &\dots \\ a_{N1}+a_{1N} &  a_{N2}+a_{2N} & \dots &  a_{NN} +a_{NN} \end{pmatrix}    \)

und weil die Addition ja kommutativ ist, ist das symmetrisch.

Comments

Dankeschön, das war doch einfacher als gedacht :)

Wie sollte ich dann am Besten bei b) oder c) vorgehen? Mir ist da nicht ganz verständlich wie ich für eine Abbildung Kern, Defekt und Rang bestimmen soll. Muss ich da mit Ksym und Kanti arbeiten?

Danke im voraus

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b)  \(\varphi: \mathbb{K}^{N \times N} \rightarrow \mathbb{K}^{N \times N}, \quad A \mapsto \frac{1}{2}\left(A+A^{\top}\right) \)

Um zu zeigen, dass das linear ist, musst du nur prüfen

 \(\varphi(A+B)= \varphi(A)+\varphi(B)\) für alle A,B aus K^NxN  

und  \(\varphi(c\cdot A)= c \cdot \varphi(A)\) für alle A aus K^NxN und c∈K.

c) Bei a) hast du ja quasi schon gezeigt, dass gilt

\( Bild(\varphi) ⊆ \mathbb{K}_{\text {sym }}^{N \times N} \)

und für "gleich" fehlt nur noch, dass jede symmetrische Matrix B in

der Form \( \frac{1}{2}\left(A+A^{\top}\right) \) zu schreiben ist,

das siehst du mit A=B.

Und für den Kern musst du überlegen, für welche A man erhält

\( \frac{1}{2}\left(A+A^{\top}\right) \) = Nullmatrix.

Das sind offenbar die aus \( \mathbb{K}_{\text {anti }}^{N \times N}\).