Permutation mit zugehöriger Permutationsmatrix

Question

Aufgabe:

Sei σ ∈ Sn eine Permutation mit zugehöriger Permutationsmatrix Pσ. Zeigen Sie:
Pσ^-1 = (Pσ)^-1= Pσ^t

Comments

Wie ist denn eine Permutationsmatrix \(P_{\sigma}\) definiert?

Gruß Mathhilf

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Die Permutationsmatrix von σ entsteht, indem man die Zeilen der Einheitsmatrix (also die
Standardbasis e1, . . . , en) gemäß σ permutiert

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Also steht in der i-ten Zeile der Einheitsvektor mit der Nummer \(\sigma(i)\). Oder:

$$P_{i,j}=1 \iff j=\sigma(i)$$

Mit dieser Formulierung kannst Du doch die Komponenten des Matrizenprodukts

$$(P_{\sigma}P_{\sigma^{-1}})_{i,k}$$

nach der Definition des Matrizenprodukts ausrechnen.

Gruß Mathhilf