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Aufgabe:

Zeigen Sie: Für jedes k∈ℕ gibt es ein n∈ℕ, sodass n, n+1, ..., n+k alle keine Primzahlen sind.


Problem/Ansatz:

Leider habe ich keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe angehen soll. Ich denke, dass es eigentlich nicht zu schwer sein sollte, aber irgendwie stehe ich hier auf dem Schlauch und habe bisher leider auch keine ähnliche Aufgabe gefunden.

Vielen Dank im Voraus!

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n!n! ist teilbar durch alle natürlichen Zahlen, die kleiner oder gleich nn sind.

n!+1n!+1 ist teilbar durch 11, weil n!n! durch 11 teilbar ist.

n!+2n!+2 ist teilbar durch 22, weil n!n! durch 22 teilbar ist.

n!+3n!+3 ist teilbar durch 33, weil n!n! durch 33 teilbar ist.

...

n!+nn!+n ist teilbar durch nn, weil n!n! durch nn teilbar ist.

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Sowas ähnliches hatte ich auch schon, war mir dann aber unsicher, weil in der Aufgabenstellung keine Fakultät vorkommt. Also kann ich das echt so leicht lösen?

Also kann ich das echt so leicht lösen?

Kommt darauf an, was du mit "so leicht" meinst

Warum genau kann man hier die Fakultät hinzuziehen?

Weil nn eine natürliche Zahl ist und somit die Fakultät von nn existiert.

n!+1 ist teilbar durch 11, weil n!n! durch 11 teilbar ist.

n!+1 kann auch eine Primzahl sein.

Wikipedia: Fakultätsprimzahlen

n! + 1 ist eine Primzahl für
n = 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399, 427, 872, 1477, 6380, 26951, 110059, 150209

siehe auch https://www.mathelounge.de/844859.

Mit n=(k+2)!(k+2)n=(k+2)!-(k+2) stellst Du sicher, dass auch n+1n+1 keine Primzahl ist.

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