Zeigen Sie durch einen Widerspruchsbeweis: Es gibt keine Primzahlen p, q, r mit p

Question

Aufgabe:

a) Zeigen Sie durch einen Widerspruchsbeweis: Es gibt keine Primzahlen \(p\), \(q\), \(r\) mit$$p^{2} + q^{2} = r^{2}$$
b) Seien A, B Mengen. Zeigen Sie: A ⊂ B ⇔ A = A ∩ B.

Comments

Wie heißt der Term, um den es hier geht?$$2^2 + q^2 = r^2$$ist es wohl eher nicht! Es gibt auch keine zwei natürlichen Zahlen \(q\) und \(r\) deren Quadrate sich um 4 unterscheiden, da die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen immer ungerade ist und die kleinste gerade Summe von Differenzen =8 ist (von 1^2 bis 3^2).

Wähle eine Alternative!$$\begin{aligned}p^2 + q^2 &= r^2 \quad &&(1) \\ p\cdot 2^2 + q^2 &= r^2 \quad &&(2) \\\left(p\cdot 2\right)^2 + q^2 &= r^2 \quad &&(3) \\ \quad ?? \quad& &&(4)\end{aligned}$$

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(1) ist stimmt ,das war einen Fehler

Answer 1

a) Angenommen, es gäbe solche Primzahlen mit \( p^2 + q^2 = r^2 \)

Dann kann man sie so ordnen, dass gilt p≤q<r

==>      \( p^2 = r^2 -q^2 = (r-q) \cdot (r+q) \)

Da p eine Primzahl ist, ist p^2 nur durch 1 und p und p^2 teilbar.

Also r-q=1 oder r-q=p gelten.

1. Fall:  Mit dem Unterschied 1 das  nur mit

r=3 und q=2, aber 2^2 +q^2 =3^2 gibt

                                 q^2 = 5 , also q keine Primzahl .

                                    Widerspruch.

2. Fall r-q=p ==>   p+q=r

             ==>  (p+q)^2 = r^2

           ==>  p^2 + 2pq + q^2 = r^2

Wegen p^2 + q^2 = r^2 wäre also 2pq=0,

also p=0 oder q=0 , also eine von beiden

keine Primzahl. Somit auch hier ein Widerspruch.

b ) A ⊂ B ⇔ A = A ∩ B.

 ==> : Seien A,B Mengen mit A ⊂ B. Zu zeigen ist A = A ∩ B.

      Sei dazu x∈A . Wegen A ⊂ B folgt   x∈B .

       Somit x∈A  und x∈B , also x ∈  A ∩ B.

<==: Seien A,B Mengen mit A = A ∩ B. Zu zeigen ist A ⊂ B.
      Sei dazu x∈A . Angenommen es wäre x∉B, dann wäre

         auch x ∉  A ∩ B. Im Widerspruch zu A = A ∩ B.

      Also gilt für jedes x :   x∈A ==>   x∈B. Also  A ⊂ B.

                                                                    q.e.d.