Das Ganze ist nur eine einfache Kurvendiskussion und hier nur viel Rechnerei.
Privat gebe ich Nachhilfe und nehme für solch eine Aufgabe komplett durchgerechnet mit Proberechnungen 10 €.
3.3 es gilt beide Funktionwerte sind gleich,bei einer Schnittstelle
g(x)=f(x) → 0=f(x)-g(x)
0=[1-1/2*x)*e^(x)] - [e^(x)*(1/2-1/2*x)]=(1-1/2*x)*e^(x)-e^(x)*(1/2-1/2*x)
0=e^(x)*[(1-1/2*x)-(1/2-1/2*x)]=e^(x)*(1-1/2*x-1/2+1/2*x)
0=e^(x)*1/2
e^(x) kann nicht NULL werden e^(0)=1 x>0 wird e^(x) unendlich groß
x<0 wird e^(x) unendlich klein aber nicht NULL.
3.4 )
Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
xo=Stelle,wo die Tangente an der Funktion f(x)=... liegen soll
Infos
Text erkannt:
Tangente/Normale an \( f(x) \) Sehr oft vird die Tangentengleichung und/oder die Sormalengleicheng an der Punktion \( f(x) \) gesucht. Die Stelle,vo die Tangente oder Normale 1fegen soll,vird oft \( m i t \) he bexeschnet
Tangente und Normale sind eine Gerade der Porm \( y=f(x)=m^{*} x+b \)
Formeln sindt "Tangentengleichung" \( y t=f t(x)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}(x-x o)+f\left(x_{0}\right) \)
"Normaleng leichung" \( y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}\left(x-x_{0}\right)+f(x 0) \)
Her leitung Geradengleichung \( y=f(x)=m^{*} x+b \) und xo ist die stelle, wo die Tangente/Normale 1iegen soll. gegeben ist die Punktion \( \mathrm{f}(x) \). Steigung "w" an der Stel1e "xo" ist m-f' (xo) diese ist die 1,te Ableitung der Funktion \( f(x) \), also \( f^{\prime}(x) \). ergibt \( y t=f_{t}(x)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+b \) mit \( x=x \circ \) und gleichgesetzt \( f\left(x_{0}\right)=y t \)
\( f(x 0)=f^{\prime}(x 0)^{*} x o+b \) ergibt \( b=f\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)=x_{0} \)
a1so \( y t=f t(x)=f^{\prime}(x 0)^{*} x+f\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x 0=f^{\prime}\left(x_{0}\right) *(x-x 0)+f\left(x_{0}\right) \)
selber Rechenwee wit der Normalengleichung mit \( y=f(x)=\ln * x+b \)
Bedingung fur eine Normale \( m 2=-1 / m 1 \) hier ist \( m 1=f^{\prime}(x \circ) \)
efngesetzt \( y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+b \) mit \( b=f(x 0)+1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{* x_{0}} \)
ergibt \( y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+f\left(x_{0}\right)+1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x o=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right) \)
\( \underline{\text { Ubungsbeispie1 }} \) gegeben:Die Punktion \( y=f(x)=x^{2} \) ist eine Parabel
gesucht:D1e Tangentengleichurg und die Normalengleichung an der Losung: \( f(x)=x^{2} \) abgeleftet \( f^{\prime}(x)=2^{*} x \) mit \( x 0=2 \) ergibt \( f(2)=2^{2}=4 \)
\( f^{\prime}(2)=2 * 2=4 \) Werte in die Formeln eingesetzt.
"Tangentengleichung" \( y t=f t(x)=4^{*}(x-2)+4=4 * x-8+4=4 * x-4 \) "Sormalengleichung" \( y n=f n(x)=-1 / 4^{*}(x-2)+4 m-1 / 4^{*} x+1 / 2+4=-1 / 4 * x+4,5 \)
~plot~e^x*(1/2-1/2*x);[[-5|3|-10|2]];x=-4;x=2,1~plot~
