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Die Eulersche Zahl e ist laut https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl so definiert:

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Wie kann ich zeigen, dass

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gilt? Das wird in Wikipedia leider nicht erklärt. Dort steht nur, „dem liegt zugrunde, dass ...“ gerade so, als ob das unmittelbar einsichtig wäre.


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Hallo Silvia, vielen Dank für den Link zum matheretter. Dieser schlägt den Bogen von

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Text erkannt:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e \)

zu

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Text erkannt:

\( e^{x}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} x^{n} \)

statt in die umgekehrte Richtung. Auch nicht schlecht! Jetzt wäre zum Abschluss noch der mathematisch korrekte Beweis interessant, wie man von der Eulerschen Zahl e

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Text erkannt:

\( \begin{aligned} e &=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}+\cdots \\ &=\frac{1}{0 !}+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\frac{1}{4 !}+\cdots \\ &=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} \end{aligned} \)

auf die Formel

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Text erkannt:

\( e=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \)

kommt. Aber eigentlich bin ich schon zufrieden.



1 Antwort

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Ich stelle die Frage: Wo hat ex=x+1  für x→0 genau eine Lösung?

Durch Umformung erhalte ich e=(x+1)1/x und durch Substitution x=1/n (also 1/x=n) erhalte ich

e=(1/n+1)n.

für x→0 geht n→∞.

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Hallo Roland, vielen Dank für diese Rechnung. Dies ist zwar kein Beweis, dass

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Text erkannt:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e \)

aber doch ein guter Plausibilitäts-Check.
Damit ist auch meine zweite Frage beantwortet, wieso gilt

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Text erkannt:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=\frac{1}{e} \)

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ist eine Definition. Definitionen beweist man nicht. Willst du zeigen, dass

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und

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äquivalent sind?

Genau.

Laut Wikipedia ist

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die Definition.

Wenn eins von beiden die Definition ist, ist das andere der Satz. Wenn du Wikipedia folgen willst, musst du ausgehend von

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die folgende Darstellung beweisen:

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Dabei kann ich dir nicht helfen.

Wikipedia schreibt, "es gibt zahlreiche äquivalente Definitionen von e". Dann soll uns mal egal sein, welches die Definition ist und welches der daraus zu beweisende Satz. Hättest du für die umgekehrte Richtung eine Idee für einen Beweis? Nur, wenn du grade eine Idee hast. Ansonsten hat mir deine Rechnung ganz am Anfang schon sehr geholfen.

Denn eigentlich wollte ich verstehen, wieso

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Was mir mit deiner Hilfe gelungen ist.

Schön, dass ich dir helfen konnte. Beweisideen habe ich aber nicht.

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