Zeige: Die Summe der Teiler von 5n ist floor(5n+3/100).
"floor" heißt "abgerundet auf die nächste natürliche Zahl".
Was bedeutet floor?
floor bedeutet: "Auf die nächste natürliche Zahl abgerundet."
Die Aussage scheint äquivalent zu $$\sum \limits_{k=0}^{n} 5^k = \dfrac{5^{3+n}-5^2}{100}$$ zu sein. Dies lässt sich vereinfachen zu $$4\cdot\sum \limits_{k=0}^{n} 5^k = 5^{1+n}-1$$ Wie es von hier weiter geht, weiß ich nicht.
Eine deutlich bessere Vereinfachung ist: $$\sum \limits_{k=0}^{n} 5^k = \dfrac{5^{n+1}-1}{5-1}$$
Vollständige Induktion:
IndAnf....
IndVor:
\(4\cdot\sum \limits_{k=0}^{n} 5^k = 5^{1+n}-1\)
IndSchritt:
Zu zeigen:
\(4\cdot\sum \limits_{k=0}^{n+1} 5^k = 5^{2+n}-1\)
\(4\cdot\sum \limits_{k=0}^{n+1} 5^k\\ = 5^{1+n}-1+4\cdot5^{n+1}\\=5^{2+n}-1\)
Sehr schön. Meine erste Überlegung finde ich gar nicht mehr so gut. Die zweite Vereinfachung zeigt die Aussage eigentlich unmittelbar.
