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Aufgabe 22 (Pflichtaufgabe)
a) Zeigen Sie für die durch \( f(0,0)=g(0,0)=0 \) sowie
$$ f(x, y)=\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \quad \text { und } \quad g(x, y)=\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}} $$
für \( (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \) definierten Funktionen \( f, g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) die Existenz aller Richtungsableitungen im Nullpunkt und geben Sie diese an.
b) Seien \( \vec{f}, \vec{g}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) gegeben durch
$$ \vec{f}(x, y)=\left(\begin{array}{c} \sin (y) \\ y e^{x} \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \vec{g}(x, y)=\left(\begin{array}{c} x+2 y \\ x y \end{array}\right) \text { . } $$
Berechnen Sie die Ableitung von \( \vec{f} \circ \vec{g} \) sowohl direkt, als auch mit der Kettenregel.
Aufgabe:
Problem/Ansatz:
Ich benötige die Lösung zu der Aufgabe und eventuell eine Erläuterung zur Fragestellung wenn das möglich wäre!
Vielen Dank im Voraus!
