Aufgabe:
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13. Gegeben seien die folgenden drei UVRe (das muss nicht nachgeprüft werden) des R3 \mathbb{R}^{3} R3 :U1={λ(123)∣λ∈R},U2={λ(111)∣λ∈R},U3={λ(321)∣λ∈R} U_{1}=\left\{\lambda\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) \mid \lambda \in \mathbb{R}\right\}, \quad U_{2}=\left\{\lambda\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \mid \lambda \in \mathbb{R}\right\}, \quad U_{3}=\left\{\lambda\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \mid \lambda \in \mathbb{R}\right\} U1=⎩⎪⎨⎪⎧λ⎝⎛123⎠⎞∣λ∈R⎭⎪⎬⎪⎫,U2=⎩⎪⎨⎪⎧λ⎝⎛111⎠⎞∣λ∈R⎭⎪⎬⎪⎫,U3=⎩⎪⎨⎪⎧λ⎝⎛321⎠⎞∣λ∈R⎭⎪⎬⎪⎫Was ist U1+U2+U3 U_{1}+U_{2}+U_{3} U1+U2+U3 (kurz ausgedrúckt)? Ist die Summe U1+U2+U3 U_{1}+U_{2}+U_{3} U1+U2+U3 eine direkte Summe?
Problem/Ansatz:
Wie berechnet man diese Aufgabe?
Was ist U1+U2+U3 U_{1}+U_{2}+U_{3} U1+U2+U3 (kurz ausgedrúckt)?
λ(555)\lambda\left(\begin{array}{l}5\\ 5 \\ 5\end{array}\right) λ⎝⎛555⎠⎞
Oder was dachtest du?
Das ist dann übrigens 5⋅λU25\cdot \lambda U_25⋅λU2.
Einschränkung: Sollte es sich nicht jedes Mal um identische Lambda-Werte handeln, beschreibt die Summe Ortsvektoren aller Punkte einer Ebene im Raum.
Ich bräuchte das mit der direkten Summe. Das andere hab ich
Versteckt sich in deinen Aufzeichnungen /Skripten irgendwo eine Definition für "direkte Summe"?
Das habe ich auch gesucht jedoch versteh ich das nicht.
Es gilt U1−4U2+U3=o⃗U_1-4U_2+U_3=\vec{o}U1−4U2+U3=o
??? Die Ui U_i Ui sind Mengen.
??? Die Ui U_i Ui sind Mengen.Ja. Sie sind Mengen von (Ortsvektoren von) Punkten im R³ bzw. sie können als solche interpretiert werden.
Im konkreten Fall sind es drei Ursprungsgeraden im Raum, die jedoch in einer gemeinsamen Ebene liegen.
Exakt. Und somit ist
U1+U2+U3 U_1 +U_2 + U_3 U1+U2+U3
die Ebene. Und nicht etwa ein Vektor. Die Frage ob die Summe direkt ist, ist damit auch beantwortet: Nein. Sonst müsste die UVR Summe Dimension 3 haben.
Und somit ist
Wenn du mit "somit" meinst, dass da nicht dreimal "λ" steht, sondern drei verschiedene Parameter λ1, λ2 und λ3 ...
Es ist doch total egal wie diese Variablen benannt werden? Da könnte auch
U1={λ1(123)∣λ1∈R},U2={λ2(111)∣λ2∈R},U3={λ3(321)∣λ3∈R} U_{1}=\left\{\lambda_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) \mid \lambda_1\in \mathbb{R}\right\}, \quad U_{2}=\left\{\lambda_2\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \mid \lambda_2 \in \mathbb{R}\right\}, \quad U_{3}=\left\{\lambda_3\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \mid \lambda_3 \in \mathbb{R}\right\} U1=⎩⎪⎨⎪⎧λ1⎝⎛123⎠⎞∣λ1∈R⎭⎪⎬⎪⎫,U2=⎩⎪⎨⎪⎧λ2⎝⎛111⎠⎞∣λ2∈R⎭⎪⎬⎪⎫,U3=⎩⎪⎨⎪⎧λ3⎝⎛321⎠⎞∣λ3∈R⎭⎪⎬⎪⎫
stehen, wenn dir das besser gefällt. Aber es ändert nichts.
Wenn da jemand schreibt: "Was ist λ*a+λ*b+λ*c" , dann ist es schon ein Unterschied, ob dreimal ein identisches λ oder ob verschiedene λ verwendet werden!
das hat aber niemand geschrieben?
U1+U1+U3={u+v+w ∣ u∈U1,v∈U2,w∈U3} U_1 + U_1 + U_3 = \{ u+v+w ~|~ u\in U_1, v\in U_2, w\in U_3\} U1+U1+U3={u+v+w ∣ u∈U1,v∈U2,w∈U3}
https://de.wikipedia.org/wiki/Untervektorraum#Summe
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