Wie kann ich anhand der Potenzreihen zeigen , dass 1 − x2 ≤ exp(−x2) ≤1/(1+x2) gilt.

Question

Aufgabe:

Wie kann ich anhand der Potenzreihen zeigen , dass 1 − x² ≤ exp(−x²) ≤1/(1+x²)   gilt.

Answer 1

Aloha :)

In der Abschätzung $e^x\ge1+x$ ersetzen wir $x$ durch $\pm x^2$:$$e^{-x^2}\ge1-x^2\quad;\quad e^{x^2}\ge1+x^2\implies\frac{1}{e^{x^2}}\le\frac{1}{1+x^2}$$Das setzen wir zu einer Unlgeichungskette zusammen:$$1-x^2\le e^{-x^2}=\frac{1}{e^{x^2}}\le\frac{1}{1+x^2}$$

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f₁(x) = 1-x²f₂(x) = e^(-x²)f₃(x) = 1/(1+x²)Zoom: x(-2…2) y(0…1,1)