Aloha :)
Hier kommt es nur auf die Koeffizienten \(a_n\) von \(x^n\) an.
zu a) Der Konvergenzradius \(r\) ist der Grenzwert von:$$\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\frac{2^n}{n^2}\cdot\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}=\frac{2^n}{2^{n+1}}\cdot\frac{(n+1)^2}{n^2}=\frac{2^n}{2\cdot2^n}\left(\frac{n+1}{n}\right)^2=\frac{1}{2}\left(1+\frac1n\right)^2\to\boxed{\frac{1}{2}}$$
zu b) Hier hat die Folge \((a_n)\) keinen Grenzwert. Sie hat aber 2 Häufungspunkte. Daher ist der Konvergenzradius \(r\) der Kehrwert des Grenzwertes des oberen Häufungspunktes (Limes superior):$$r=\frac{1}{\operatorname{lim\;sup}_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}}$$Wir betrachten daher zuerst den Wurzelterm genauer:$$\sqrt[n]{\left|a_n\right|}=\left|\frac{2+(-1)^n}{5+(-1)^{n+1}}\right|=\left|\frac{2+(-1)^n}{5-(-1)^n}\right|=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3}{4}&\text{falls \(n\) gerade}\\[1ex]\frac{1}{6}&\text{falls \(n\) ungerade}\end{array}\right.$$Der obere Grenzwert ist \(\frac34\), also gilt:$$r=\frac{1}{\frac34}=\boxed{\frac43}$$
zu c) Hier bietet sich wieder das Quotientenkriterium an:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{3^{n+2}}{2^n}\,x^n=9\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{3^{n}}{2^n}\,x^n$$$$\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\frac{3^n}{2^n}\cdot\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{3^n}{3^{n+1}}\cdot\frac{2^{n+1}}{2^n}=\frac13\cdot2=\boxed{\frac23}$$
