Aufgabe: Sei f:V→V ein Endomorphismus auf einem endlich-dimensionalen K-Vektorraum V definiert durch f(v) =Jλ(n)·v für den Jordanblock Jλ(n) = (ich habe keine Matrix Tastatur, daher schreibe ich für Lamda ein L)
Jλ(n) = L 1
L 1
. .
. .
L 1
L also das soll die Matrix sein.
(i) Zeigen Sie, dass Mf=Pf gilt.
(ii) Beweisen Sie:f ist genau dann diagonalisierbar, wenn das Minimalpolynom Grad 1 hat, also ein Jordanblock der Größe 1 ist, also Mf(X) = (X−λ) gilt.
(iii) Zeigen Sie, dass das Minimalpolynom eines beliebigen, diagonalisierbaren Endo-morphismus f nur aus Faktoren (X−λi) für paarweise verschiedene Eigenwerte λi besteht, das heißt also alle Jordanblöcke Größe 1 haben
(iv)Zeigen Sie, dass es sich bei der Aussage in (iii) sogar um eine ̈Aquivalenz handelt.Beweisen Sie also die folgende Aussage:Ein beliebiger Endomorphismus f ist genau dann diagonalisierbar, wenn alle seine Jordanblöcke Größe 1 haben, das Minimalpolynom also nur aus Faktoren (X−λi) für paarweise verschiedene Eigenwerte λi besteht
Problem/Ansatz:
Hat jemand Zeit und Lust diese Aufgabe zu lösen? Für meine Unterlagen hätte ich gerne einmal den richtigen Weg für diese Aufgaben.
