Wahrscheinlichkeitsdichte/ Bestimmen Sie die Konstante c.

Question

Aufgabe:

Die Zufallsvariable X sei diskret mit der Wahrscheinlichkeitsdichte
P(X = xj ) = P(X = j) = c/3^j
j = 0, 1, 2, . . .
a) Bestimmen Sie die Konstante c.

Problem/Ansatz:

Habe jetzt erstmal das Integral gebildet:

\( \int\limits_{0}^{\infty} \)c/3^j=c/ln(3).

Das muss gleich 1 sein, also

c/ln(3)=1 bzw. c=ln(3)

Wäre das richtig? Bin mir noch unsicher.

Answer 1

Aloha :)

Deine Idee ist richtig, allerdings müssen wir hier sehr "diskret" vorgehen. Das Integral über kontinuierliche Werte \(dx\) müssen wir durch eine Summe über \(j\) ersetzen. Das führt uns geradewegs auf die geometrische Reihe mit ihrem bekannten Grenzwert:$$1\stackrel!=\sum\limits_{j=0}^\infty\frac{c}{3^j}=c\sum\limits_{j=0}^\infty\left(\frac{1}{3}\right)^j=c\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}\,c\quad\implies\quad c=\frac{2}{3}$$

Comments

Ach, stimmt ja, ist ja nicht stetig, vielen dank!