bestimmen sie im(f)und ker(f)

Question

Text erkannt:

Es sei \( f \in \operatorname{End}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \) mit den Bildern
$$ f\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad f\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad f\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} -2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right) . $$
Bestimmen Sie \( f\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \) für beliebiges \( \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \). Bestimmen Sie außerdem \( \operatorname{ker}(f) \)
und \( \operatorname{im}(f) \).

Answer 1

hallo

Hallo aus den gegebenen Bildern die Bilder der Standareinheitsvektoren bilden durch Linearkombination . dann hast du die Spalten der Matrix  und damit das Bild von (x,y,z)^T

Gruß lul

Answer 2

Hallo :-)

Betrachte folgenden Ansatz:

$$ f\left(\begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix}\right)=x\cdot f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}\right)+y\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}\right)+z\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}\right)\\=\underbrace{\Bigg[f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}\right)\quad f\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}\right)\quad f\left(\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}\right) \Bigg]}_{=:A}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} $$

Gesucht sind nun die Bildvektoren

$$f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}\right), f\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}\right),f\left(\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}\right).$$

Und jetzt setze ich mal da die drei obigen Vektoren \(\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix}\) nach und nach ein:

$$ f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}\right)=1\cdot f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}\right)+0\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}\right)+0\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2\\1\\0 \end{pmatrix} $$

$$ f\left(\begin{pmatrix}1\\1\\0 \end{pmatrix}\right)=1\cdot f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}\right)+1\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}\right)+0\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2\\1\\1 \end{pmatrix} $$

$$ f\left(\begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix}\right)=1\cdot f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}\right)+1\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}\right)+1\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}-2\\-1\\0 \end{pmatrix} $$

Jetzt musst du nur noch nach den Bildvektoren auflösen und der Rest ergibt sich dann durch die Matrix \(A\).