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Es sei fEnd(R3) f \in \operatorname{End}\left(\mathbb{R}^{3}\right) mit den Bildern
f(10)=(210),f(10)=(211),f(11)=(210). f\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad f\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad f\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} -2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right) .
Bestimmen Sie f(xyz) f\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) für beliebiges (xyz)R3 \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} . Bestimmen Sie außerdem ker(f) \operatorname{ker}(f)
und im(f) \operatorname{im}(f) .

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hallo

Hallo aus den gegebenen Bildern die Bilder der Standareinheitsvektoren bilden durch Linearkombination . dann hast du die Spalten der Matrix  und damit das Bild von (x,y,z)T

Gruß lul

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Hallo :-)

Betrachte folgenden Ansatz:

f((xyz))=xf((100))+yf((010))+zf((001))=[f((100))f((010))f((001))]= : A(xyz) f\left(\begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix}\right)=x\cdot f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}\right)+y\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}\right)+z\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}\right)\\=\underbrace{\Bigg[f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}\right)\quad f\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}\right)\quad f\left(\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}\right) \Bigg]}_{=:A}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix}

Gesucht sind nun die Bildvektoren

f((100)),f((010)),f((001)).f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}\right), f\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}\right),f\left(\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}\right).

Und jetzt setze ich mal da die drei obigen Vektoren (100),(110),(111)\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix} nach und nach ein:

f((100))=1f((100))+0f((010))+0f((001))=(210) f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}\right)=1\cdot f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}\right)+0\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}\right)+0\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2\\1\\0 \end{pmatrix}

f((110))=1f((100))+1f((010))+0f((001))=(211) f\left(\begin{pmatrix}1\\1\\0 \end{pmatrix}\right)=1\cdot f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}\right)+1\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}\right)+0\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2\\1\\1 \end{pmatrix}

f((111))=1f((100))+1f((010))+1f((001))=(210) f\left(\begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix}\right)=1\cdot f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}\right)+1\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}\right)+1\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}-2\\-1\\0 \end{pmatrix}

Jetzt musst du nur noch nach den Bildvektoren auflösen und der Rest ergibt sich dann durch die Matrix AA.

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