Aufgabe:
Gegeben seien Stützpunkte \( \left(x_{i}, z_{i}\right) \) für \( i=0,1, \ldots, n \) mit \( x_{i} \in[0,2 \pi), z_{i} \in \mathbb{C} \) sowie \( x_{i} \neq x_{j} \) für \( i \neq j \). Diese Daten sollen mit einem trigonometrischen Polynom
$$ p(x)=a_{0}+a_{1} \mathrm{e}^{\mathrm{i} x}+a_{2} \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 x}+a_{3} \mathrm{e}^{\mathrm{i} 3 x}+\cdots+a_{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n x} $$
interpoliert werden, d.h. \( p\left(x_{i}\right)=z_{i} \) für \( i=0,1, \ldots, n . \) Die gesuchten Koeffizienten sind \( a_{i} \in \mathbb{C} \) für \( i=0,1, \ldots, n \).
Beweisen Sie, dass diese Interpolationsaufgabe eine eindeutige Lösung besitzt. Führen Sie dazu das Problem auf eine (gewöhnliche) Polynominterpolation zurück und verwenden Sie bekannte Resultate.
