Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Punkte A,B und C liegen.

Question

Aufgabe:

 1.) Gegeben sind die Punkte A(9;0;0) , B(0;4,5;0) und C(0;0;4,5) sowie die Punkte P(2,3,0) und Q(3,1,2).
a.) Begründen Sie, dass die Punkte A,B und C nicht auf einer gemeinsamen Gerade liegen. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Punkte A,B und C liegen.
b.) Die Gerade durch die Punkte P und Q schneidet die Ebene E im Punkt S. Berechnen Sie die Koordinaten von S.
c.) Zeichnen Sie in ein räumliches Koordinatensystem das Dreieck ABC, die Gerade durch die Punkte P und Q sowie den Punkt S.
d.) Geben Sie die Gleichung einer Geraden an, die parallel zur Gerade durch die Punkte P und Q verläuft und durch den Punkt A geht.

Problem/Ansatz:

… Wie rechne ich die Aufgaben. Ich habe leider keinen Ansatz.

Answer 1

Geradengleichung g: x=a+r*m

Richtungsvektor m von Punkt A nach Punkt B → b=a+m → AB=m=b-a

A(9/0/0) → Ortsvektor a(9/0/0)

B(0/4,5/0) → Ortsvektor b(0/4,5/0)

C(0/0/4,5) → Ortsvektor c(0/0/4,5)

Richtungsvektor m=b-a=(0/4,5/0)-(9/0/0)=(-9/4,5/0)

g: x=(9/0/0)+r*(-9/4,5/0)  Gerade von Punkt A aus durch Punkt B

C(0/0/4,5) gleichgesetzt mit g:

x-Richtung: 1) 0=9+r*-9 → r=-9/-9=1

y-Richtung: 2) 0=0+r*4,5 → r=0-4,5=-4,5

also ein Widerspruch → C kann nicht auf der Geraden A → B liegen.

b) Dreipunktgleichung der Ebene E: x=a+r*(b-a)+s*(c-a)

ausgerechnet ergibt das die Vektorielle Parmetergleichung der Ebene E: a=r*u+s*v

u=b-a

v=c-a

nun den Normalenvektor der Ebene berechnen,am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

a kreuz b=c

also u kreuz v=n → n(nx/ny/nz)

oder über das Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz=0

Der Normalenvektor n(nx/ny/nz) steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren u und v und deshalb ist das Skalarprodukt NULL

1) u*n=ux*nx+uy*ny+uz*nz=0

2) v*n=vx*nx+vy*ny+vz*nz=0

wir setzen nz=1

ergibt das lineare Gleichungssystem (LGS)

1) ux*nx+uy*ny=-1*uz

2) vx*nx+vy*ny=-1*vz

Das muss nun gelöst werden.Die beiden Unbekannten sind nx und ny ergibt n(nx/ny/1)

Normalengleichung der Ebene E: (x-a)*n=0

mit dem Skalarprodukt ausgerechnet ergibt die

Koordinatengleichung der Ebene E: a*x+b*y+c*z+d=0

x*nx+y*ny+z*nz-1*(ax*nx+ay*ny+az*nz)=0   → -1*(....)=d

Gerade von Punkt P nach Q → h: x=p+s*(q-p)

dann in die Ebenengleichung einstzen und nach den Geradenparameter s=... umstellen

Geradenparameter in die Gerade h: eingesetzt,ergibt dann den Schnittpunkt S(sx/sy/sz) mit der Ebene

c) Geraden verlaufen parallel,wenn die beiden Richtungsvektoren parallel liegen

es gilt m1*t=m2

Bei der parallelen Gerade den Stützpunkt A(ax/ay/az) → a(ax/ay/az) benutzen

Beispiel: (1/2/3)*2=(2/4/6)

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Text erkannt:

Gerade is
Homeseparaneter wird \( \mathrm{r}=1 \) gesetzt
Bleichgesetat ergibt: (bx/by/bz)-(ax/ay/a \( -8 i c h t u n g: b x=a x+1 * m x e r_{B}+a t= \)
\( A(a x / a y / a z) \cdot \operatorname{sind} d x \)
\( 8(B x / b y / b z) \) sind die \( x, y \) und \( z \) koordinaten dei
Abstand von 2 punkten in Raun Hfer ist der "Betrag" von d 21 \( 2-y+1)^{2}+r \)
\( S_{k} a \operatorname{lar} p r o d u k t \quad a^{*} b-a x^{*} b x+a y^{*} b y+a z^{*} b z \)
stehen die beiden Vektoren a und das Skalarprodukt gleich NULL \( 1 ! \) Wsenkrecht" aufeinander,so ist
\( -180-a^{*} b-a x^{*} b x+a y^{*} b y+a z^{*} b z=0 \)
Zbenen:
Dreipunktgleichung der Zben \( t \ldots \)
segeben sind die 3 Punkte \( a(\mathrm{ax} / \mathrm{ay} / \mathrm{az}) \) und \( \mathrm{b}(\mathrm{b} \mathrm{x} / \mathrm{by} / \mathrm{bz}) \) und \( \mathrm{c}(\mathrm{cx} / \mathrm{c} \mathrm{y} \)
\( c(c x / c y / c z) \)
\( 1 \mathrm{t}\left(\overrightarrow{6}+\vec{b}-\vec{a}^{b}\right) \) und \( \vec{v}=(\vec{c}-\overrightarrow{8}) \)
Normalengleichung der Ebene \( \mathrm{E}:(\vec{x}-\vec{a})=\overrightarrow{\vec{d}}=0 \quad \mathrm{n}(\mathrm{nx} / \mathrm{ng} / \mathrm{nz}) \) -Nornalen
Der Normalenvektor steht "senkrecht" auf den Richt unesvelen
Koordinatengleichung der Bbene \( \mathrm{E}: \mathrm{a}^{4} \mathrm{x}+\mathrm{b}^{*} \mathrm{y}+\mathrm{c}^{*} \mathrm{z}+\mathrm{d}=0 \)
\( \underline{\text { Vektorprodukt (Kreuzprodukt) }} \)
Hiermit kann man den "Normalenvektor" fur die Bbene bestingen

Answer 2

Hallo,

1.) Gegeben sind die Punkte A(9;0;0) , B(0;4,5;0) und C(0;0;4,5) sowie die Punkte P(2,3,0) und Q(3,1,2).
a.) Begründen Sie, dass die Punkte A,B und C nicht auf einer gemeinsamen Gerade liegen.

Stelle z.B. die Gleichung der Geraden durch A und B auf und mache die Punktprobe zu C.

Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Punkte A,B und C liegen.

Nimm einen der Punkte als Anbindungspunkt und bilde die Richtungsvektoren zu den anderen beiden Punkten

b.) Die Gerade durch die Punkte P und Q schneidet die Ebene E im Punkt S. Berechnen Sie die Koordinaten von S.

Stelle die Geradengleichung durch P und Q auf und setze sie mit der Ebenengleichung gleich. Mit dem daraus entstehenden Gleichungssystem bestimmst du die Parameter und damit den Schnittpunkt.

c.) Zeichnen Sie in ein räumliches Koordinatensystem das Dreieck ABC, die Gerade durch die Punkte P und Q sowie den Punkt S.

Dazu kannst du einen Funktionsplotter verwenden.

d.) Geben Sie die Gleichung einer Geraden an, die parallel zur Gerade durch die Punkte P und Q verläuft und durch den Punkt A geht.

Parallele Geraden haben den gleichen Richtungsvektor. Wähle A als Anbindungspunkt und dann den Richtungsvektor der Geraden, die durch unter b) aufgestellt hast.

Falls du noch Fragen hast, kannst du dich gerne wieder melden.

Gruß, Silvia