Taylorpolynom dritten Grades: f(x) = e^x*sin(x)

Question

Ich kann die Aufgabe leider nicht rechnen bis zur ersten Ableitung klappt es, danach weiß ich nicht, wie ich e^x * (sin(x)+cos(x)) ableiten soll:

Berechnen sie für die Funktion f(x)= e^x * sin(x)  das Taylorpolynom dritten Grades für den Entwicklungspunkt x0=0.

Ich habe zuerst f(0)=0 berechnet. Danach habe ich die Ableitung gebildet: f'(x)= e^x * (sin(x)+cos(x)). Dann habe ich f'(0)=1 erhalten. An der Stelle kann ich die zweite Ableitung nicht bilden.
Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann.

MfG Tim

Comments

Ich bin gleich im Bett, deswegen nur einen Kommentar.

 

Du kannst das natürlich gerne so machen, wie Du es begonnen hast. Einfacher wäre es aber wohl die Taylorreihe von e^x zu bestimmen, sowie von sin(x) (wenn sie nicht sogar schon bekannt sind!!) und dann einfach zu multiplizieren.

Zum Vergleich. Ich komme auf:

$$T = x+x^2+\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{30}+...$$

 

Grüße

Answer 1

Da dein Problem wohl eher die Ableitungen als die Aufstellung des Taylorpolynoms ist, führe ich diese vor:

 

f ' ( x ) hast du korrekt bestimmt:

f ' ( x ) = e ^x ( sin x + cos x )

Durch Ausmultiplizieren erhält man daraus:

f ' ( x ) = e ^x * sin x + e ^x * cos x

 

Daraus ergibt sich die zweite Ableitung:

f ' ' ( x ) = ( e ^x * sin x ) ' + ( e ^x * cos x ) '

[ ( e ^x * sin x ) ' ist gerade gleich f ' ( x ) und wurde im vorigen Schritt berechnet, also:]

=  e ^x ( sin x + cos x ) + ( e ^x * cos x ) '

[Die Ableitung von cos x ist - sin x, also:

=  e ^x ( sin x + cos x ) + e ^x * cos x - e ^x * sin x

[Zusammenfassen:]

= 2 * e ^x * cos x

 

Und daraus erhält man die dritte Ableitung:

f ' ' ' ( x ) = ( 2 * e ^x * cos x ) '

= 2 * ( e ^x * cos x ) '

[ ( e ^x * cos x ) ' wurde im vorherigen Schritt berechnet, also:]

= 2 * ( e ^x * cos x - e ^x * sin x )

= 2 * e ^x * ( cos x - sin x )

Comments

Danke für die ausführliche Darstellung :) Da nur der Entwicklungswert x0=0 gegeben ist und ein x1 fehlt, so kann man doch das Taylorpolynom nur bedingt berechnen?!? Es heißt doch immer (x-x0)^n . Da fehlt mir doch das x.

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Das x ist doch die unabhängige Variable des Taylorpolynoms - das bleibt so stehen.

Von diesem x hängt der Wert des Taylorpolynoms ab. Wird also das Taylorpolynom an der Stelle x berechnet, dann gibt der Ergebniswert einen Näherungswert für den Wert von f ( x ) an dieser Stelle Durch das Taylorpolynom an der Stelle x wird also der Wert der Funktion f ( x ) an dieser Stelle angenähert.