Taylor-Polynom dritten Grades am Entwicklungspunkt 0 für f(x)=e^sin(x)

Question

als Tipp wurde hier gegeben, die Taylorpolynome für $$g(x)=e^x$$ und $$h(x)=sin(x)$$ getrennt zu berechnen und dann ineinander einzusetzen.

Ich bekomme hier:

$$g_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$$ und $$h_3(x)=x-\frac{x^3}{6}$$

Hier hänge ich jetzt fest. Wie soll ich die denn nun ineinander einsetzen?

Answer 1

Hallo

du setzt für jedes x in g3 dein h3 ein.

du kannst ja auch gleich statt g(x) g(h) schreiben. Nach dem Einsetzen kannst du dann alle Terme mit Exponenten größer 3 weglassen.

Gruß lul

Answer 2

  Halte ich für Mega umständlich. Ich mach dir das mit der Metode des ===>  impliziten Differenzierens, die auf ein LGS  im Gaußschen Dreiecksformat  führt.   Zunächst halten wir fest

      f  (  0  )  =  1            (  1  )

     und aus der Kettenregel folgt

     y  '  =  y  cos  (  x  )       (  2a  )

    Jetzt in  (  2a  )  die Produktregel

   y  "  =  y  '  cos  (  x  )  -  y  sin  (  x  )      (  2b  )

   An sich hat sich ja die  ===>  Leibnizregel bei euch rumgesprochen; eine verallgemeinerte Produktregel, die es dir gestattet,   aus dem Stand ohne Zwischenrechnung die 4 711. Ableitung   von  ( 2a ) zu bilden.  Onkel Leibniz geht genau nach dem binomischen Lehrsatz vor mit seinen ===>  Binominalkoeffizienten;  für 3. Ableitung müssen wir zwei Mal ableiten, das ist uns vertraut

    (  u  v  )  "  =  u  "  v  +  2  u  '  v  '  +  u  v  "     (  3a  )

    y(³) = y " cos ( x ) - 2 y ' sin ( x ) - y cos ( x )     (  3b  )

   Jetzt  x = 0 setzen  und ( 1 ) einsetzen in ( 2a )

     f ' ( 0 ) = f ( 0 ) cos ( 0 )  =  1      (  4a  )

    Das ist hier die Gaußprozedur; als Nächstes werden eingesetzt x = 0 so wie  ( 1;4a ) in ( 2b )

     f  "  (  0  )  =  f  '  (  0  )  =  1      (  4b  )

    Und in ( 3b ) hast du

    f(³)  (  0  )  =  f  "  (  0  )  -  f  (  0  )  =  1  -  1  =  0     (  4c  )