Lösen einer Matrizengleichung mit Buchstaben

Question

Aufgabe:

Alle vorliegenden (n x n) Matrizen sind invertierbar. E ist die Einheitsmatrix.

Lösen Sie die Matrizengleichung nach X auf und vereinfachen Sie so weit wie möglich.

(B+A)*(E-A)=(X-B)*A

Problem/Ansatz:

Die Lösung ist wohl B*A^-1+E-A=X

Ich weiß nicht wie das gehen soll, hab sowas noch nie gemacht.

Über Hilfe würde ich mich freuen.

Answer 1

Aloha :)

$$\left.(B+A)\cdot(E-A)=(X-B)\cdot A\quad\right|\cdot A^{-1}\text{ von rechts}$$$$\left.(B+A)\cdot(E-A)\cdot A^{-1}=(X-B)\cdot A\cdot A^{-1}\quad\right|\text{ausmultiplizieren}$$$$\left.(B+A)\cdot(\underbrace{E\cdot A^{-1}}_{=A^{-1}}-\underbrace{A\cdot A^{-1}}_{=E})=(X-B)\cdot\underbrace{A\cdot A^{-1}}_{=E}\quad\right|\text{vereinfachen}$$$$\left.(B+A)\cdot(A^{-1}-E)=X-B\quad\right|\text{links ausmultiplizieren}$$$$\left.B\cdot A^{-1}+\underbrace{A\cdot A^{-1}}_{=E}-\underbrace{B\cdot E}_{=B}-\underbrace{A\cdot E}_{=A}=X-B\quad\right|\text{vereinfachen}$$$$\left.B\cdot A^{-1}+E-B-A=X-B\quad\right|+B$$$$X=B\cdot A^{-1}+E-A$$

Answer 2

Das geht fast so wie wenn die Variablen für Zahlen stehen würden anstatt für Matrizen. Einzige Änderungen sind, dass du das Kommutativgesetz bei der Multiplikation nicht anwenden darfst und dass du mit dem Inversen multiplizierst anstatt zu dividieren.