So leitet sich die Regel für die partielle Integration aus der Propduktregel der Differentiation ab:
$$(uv)'=u'v+uv'$$$$\Leftrightarrow uv'=(uv)'-u'v$$$$\Leftrightarrow \int { uv' } =\int { (uv)' } -\int { u'v }$$$$\Leftrightarrow \int { uv' } =uv-\int { u'v }$$
Man muss also die zu integrierende Funktion als Produkt einer Funktion u(x) und der Ableitung v'(x) einer anderen Funktion v(x) auffassen.
Das, was da bei frustfrei-lernen steht, nämlich:$$F(x)=\int { f(x) } dx=u(x)*v(x)-\int { u'(x)*v(x)dx }$$ist ausgesprochen missverständlich, da vorher nicht gesagt wird,
dass f (x) = u (x) * v ' (x) sein soll.
Angewendet auf die vorliegende Aufgabenstellung:
$$\int { x*cos(ax)dx }$$$$[u=x,v'=cos(ax)\Rightarrow u'=1,v=\frac { 1 }{ a } sin(ax)]$$$$=x*\frac { 1 }{ a } sin(ax)-\int { 1* } \frac { 1 }{ a } sin(ax)dx$$$$=x*\frac { 1 }{ a } sin(ax)-\frac { 1 }{ a } \int { sin(ax)dx }$$$$=x*\frac { 1 }{ a } sin(ax)-\frac { 1 }{ a } (-\frac { 1 }{ a } cos(ax))$$$$=\frac { 1 }{ a } x*sin(ax)+\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } cos(ax))$$
