So leitet sich die Regel für die partielle Integration aus der Propduktregel der Differentiation ab:
(uv)′=u′v+uv′⇔uv′=(uv)′−u′v⇔∫uv′=∫(uv)′−∫u′v⇔∫uv′=uv−∫u′v
Man muss also die zu integrierende Funktion als Produkt einer Funktion u(x) und der Ableitung v'(x) einer anderen Funktion v(x) auffassen.
Das, was da bei frustfrei-lernen steht, nämlich:
F(x)=∫f(x)dx=u(x)∗v(x)−∫u′(x)∗v(x)dxist ausgesprochen missverständlich, da vorher nicht gesagt wird,
dass f (x) = u (x) * v ' (x) sein soll.
Angewendet auf die vorliegende Aufgabenstellung:
∫x∗cos(ax)dx[u=x,v′=cos(ax)⇒u′=1,v=a1sin(ax)]=x∗a1sin(ax)−∫1∗a1sin(ax)dx=x∗a1sin(ax)−a1∫sin(ax)dx=x∗a1sin(ax)−a1(−a1cos(ax))=a1x∗sin(ax)+a21cos(ax))