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Aufgabe:

Seien \(a \gt 0\) und \(x_1 \in \mathbb R\) mit \(0 \lt x_1 \lt \frac{1}{a}\).

Sei \(x_k\) mit \(k\in \mathbb N ⊆ \mathbb R\) rekursiv definiert durch $$x_{k+1} = 2x_k − ax_k^2 \quad \text{für}\space k \in \mathbb N$$
Zeigen Sie, dass diese Folge konvergiert, und bestimmen Sie den Grenzwert.

Wie kann ich das zeigen?

von

Hallo

steht da wirklich xk+1 := 2xk − ax2k das geht nicht  oder xk+1 := 2xk − ax2 geht auch nicht ohne Angabe für x2

lul

Warum schlägst du nicht    xk+1 =  2xk - a·xk^2    vor ?

Weil nur du so schlau bist!

Entschuldigung, natürlich soll da 2xk - a·xk^2 stehen

Hallo

da steht 0 < x1 <
1
a

was ist mit dem a? oder einfach 0<x1<1?

lul

Beim Versuch, die Aufgabe zu lösen würdest du wahrscheinlich feststellen, dass durch die Einschränkung    0 < x1 < 1/a    eine Fallunterscheidung überflüssig wird.

1 Antwort

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Beste Antwort

Aloha :)

Folgendes konnte ich aus der Fragestellung entnehmen:$$x_{k+1}=2x_k-ax_k^2\quad;\quad x_0\in(0|1)\quad;\quad a>0$$

Zunächst schreiben wir die Rekursionsgleichung etwas um:

$$x_{k+1}=-a\left(x_k^2-\frac{2}{a}x_k\right)=-a\left(x_k^2-\frac{2}{a}x_k+\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2}\right)=-a\left(\left(x_k-\frac{1}{a}\right)^2-\frac{1}{a^2}\right)$$$$x_{k+1}=\frac{1}{a}-a\left(x_k-\frac{1}{a}\right)^2$$

1a) Beschränktheit nach oben

Man erkennt sofort, dass \(x_{k+1}\le\frac{1}{a}\) ist, weil von \(\frac{1}{a}\) höchstens etwas Positives subtrahiert wird. Je nach Wert von \(a\) bzw. des Startwertes \(x_0\) kann aber \(x_0>\frac{1}{a}\) sein. In jedem Fall ist die Folge \((x_k)\) aber nach oben beschränkt, denn es gilt:$$x_{k}\le\frac{1}{a}\quad\text{für }k\ge1\quad;\quad x_k\le\operatorname{max}\left\{\frac{1}{a};1\right\}\quad\text{für }k\ge0$$

1b) Beschränktheit nach unten

Wir zeigen durch Induktion, dass alle \(x_k\) positiv sind. Wegen \(0<x_0<1\) ist die Verankerung bei \(k=0\) klar. Im Induktionsschritt ist nun:$$0<x_k\implies-\frac{1}{a}<x_k-\frac{1}{a}\implies\frac{1}{a^2}>\left(x_k-\frac1a\right)^2\implies\frac{1}{a}>a\left(x_k-\frac1a\right)^2\implies$$$$-\frac{1}{a}<-a\left(x_k-\frac1a\right)^2\implies0<\frac{1}{a}-a\left(x_k-\frac1a\right)^2\implies 0<x_{k+1}\quad\checkmark$$

Die Folge \((x_k)\) ist also sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt:$$0<x_k\le\frac{1}{a}\quad;\quad k\ge1\qquad;\qquad 0<x_0<1$$

2) Monotonie$$x_{k+1}-x_k=\left(2x_k-ax_k^2\right)-x_k=x_k-ax_k^2=x_k\left(1-ax_k\right)\ge0\quad\text{für }k\ge1$$

Der erste Faktor ist positiv, denn \(x_k>0\). Für \(k\ge1\) ist der zweite Faktor nicht-negativ, denn es gilt:$$x_k\le\frac{1}{a}\implies-ax_k\ge-1\implies (1-ax_k)\ge0$$Damit ist \((x_{k+1}-x_k)\ge0\), sodass die Folge für \(k\ge1\) monoton wächst.

3) Konvergenz

Jede beschränkte, monotone Folge konvergiert. Der mögliche Ausreißer \(x_0\) bei der Monotonie tut bei dieser Konvergenzbetrachtung nichts zur Sache. Die Folge \((x_k)\) kovergiert also und für ihren Grenzwert \(x\) gilt:

$$\left.x_{k+1}=2x_k-ax_k^2\quad\right|\lim\limits_{k\to\infty}(\cdots)$$$$\left.\lim\limits_{k\to\infty}x_{k+1}=\lim\limits_{k\to\infty}\left(2x_k-ax_k^2\right)\quad\right|\text{Grenzwertsätze}$$$$\left.\lim\limits_{k\to\infty}x_{k+1}=2\lim\limits_{k\to\infty}x_k-a\left(\lim\limits_{k\to\infty}x_k\right)^2\quad\right|x\coloneqq\lim\limits_{k\to\infty}x_k=\lim\limits_{k\to\infty}x_{k+1}$$$$\left.x=2x-ax^2\quad\right|-x$$$$\left.x-ax^2=0\quad\right|\text{\(x\) ausklammern}$$$$\left.x(1-ax)=0\quad\right|\text{Satz vom Nullprodukt}$$$$x=0\;\lor\;x=\frac{1}{a}$$

Da die Folge monoton wächst, scheidet \(0\) als Grenzwert aus, daher ist:$$\lim\limits_{k\to\infty}x_k=\frac1a$$

von 79 k 🚀

Vielen Dank, das ist mal eine ausführliche Antwort !

Ohne Berücksichtigung meines Hinweises kommst du zu falschen Ergebnissen.

Konkret : das zweite =>  in 1b. Bsp : x0 = 0,5 , a = 5

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