Zeigen Sie, dass die Folge (ak) für die folgenden Wahlen konvergiert und bestimmen Sie jeweils den Grenzwert.

Question

Aufgabe:

Sei (bn)n∈N0 eine Folge in R. Die Folge (ak)k∈N0 sei definiert durch ak := b0 + . . . + bk.

Zeigen Sie, dass die Folge (ak) für die folgenden Wahlen konvergiert und bestimmen Sie
jeweils den Grenzwert.

(a) Mit −1 < x < 1 eine reelle Zahl nehmen wir
bn := x^n

für n ∈ N0

(b) Wir wählen
bn := (2^n) / (3^(n+1))

für n ∈ N0.
Hinweis: Finden Sie jeweils eine Formel für ak.

Problem/Ansatz:

Ich hoffe ihr könnt mir helfen, vielen Dank

Comments

Hallo,

schlag mal die Formel für ein geometrische Summe nach.

Gruß Mathhilf

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen sie, dass die Folge ak für die folgenden Wahlen konvergiert und bestimmen sie jeweils den Grenzwert.

Stichworte: konvergenz,folge,reihen,grenzwert,analysis

Aufgabe:

Sei (b_n) n ∈ ℕ₀ eine Folge in ℝ. Die Folge (a_k) k ∈ ℕ₀ sei definiert durch a_k := b₀ + ... + b_k .

Zeigen sie, dass die Folge a_k für die folgenden Wahlen konvergiert und bestimmen sie jeweils den Grenzwert.

a)

Wir wählen b_n : = 2ⁿ/3ⁿ⁺¹ für n ∈ ℕ₀

Problem/Ansatz:

Ich weiß das sich die Folge immer weiter der 1 annähert, jedoch weiß ich nicht genau wie ich hier zeigen soll das die Folge konvergiert und wie der Grenzwert hier bestimmt wird.

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Informiere Dich über das Stichwort "geometrische Summe" und "geometrische Reihe"

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Hey Mathhilf, die geometrische Reihe habe ich mir schon angeschaut. Ich weiß jedoch nicht wie diese mir hier weiterhilft.

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Naja,

es ist doch

$$a_k=\frac{1}{3}\sum_{n=0}^k\left(\frac{2}{3}\right)^n$$

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass die Folge (ak) für die folgenden Wahlen konvergiert und bestimmen Sie

Stichworte: konvergenz,folge,grenzwert

Aufgabe:

Sei (bn)n∈N0
eine Folge in R. Die Folge (ak)k∈N0
sei definiert durch
ak := b0 + . . . + bk.
Zeigen Sie, dass die Folge (ak) für die folgenden Wahlen konvergiert und bestimmen Sie
jeweils den Grenzwert.
(a) Mit −1 < x < 1 eine reelle Zahl nehmen wir
bn := x^n
für n ∈ N0.
(b) Wir wählen
bn :=2^n / 3^(n+1)
für n ∈ N0.
Hinweis: Finden Sie jeweils eine Formel für ak.

Mit der Notation wie in Aufgabe 3 sei
bn :=2/((n + 1) · (n + 3))
Zeigen Sie, dass die Folge (ak) konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.
Hinweis: Schreiben Sie
bn =A/(n + 1) + B/(n + 3)
mit geeigneten A und B