Vektoren, Nullvektor und lineare Abhängigkeit

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Vektoren

$a=\begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}, \quad b=\begin{pmatrix}3\\-5\\1\end{pmatrix}$.

a) Geben Sie einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor $x$ an, so dass die Vektoren $a, b$ und $x$ linear abhängig sind, und $x$ ungleich $a$ und $x$ ungleich $b$.

$x =?$

b) Geben Sie Vektor $y$ an, so dass die Vektoren $a, b$ und $y$ linear unabhängig sind.

$y=?$

Weiß jemand, wie man auf die Vektoren kommt und kann mir dabei helfen? :)

Answer 1

Hallo :-)

Du musst für beide Aufgaben dieses LGS betrachten:

$\lambda\cdot a+\mu\cdot b=\lambda\cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}+\mu\cdot \begin{pmatrix}3\\-5\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=x$ oder in Matrixschreibweise:

$\left(\begin{array}{cc|c}-2&3&x_1\\1&-5&x_2\\3&1&x_3\end{array}\right)$

Das musst du nun in Abhängigkeit von $x_1,x_2,x_3$ auf Lösbarkeit überprüfen.