Aufgabe: Ableitung Kontrolle und Hilfe
Gegeben sind die Funktionen
f : xβx3+x2β4xβ4
g : xβxβ2
a) Geben Sie die zusammengesetzten Funktionen f+g,fβg,fβ
g und gfβ an.
b) Berechnen Sie die Funktionswerte an den angegebenen Stellen:
(f+g)(0)
(fβg)(1)
(fβ
g)(21β)
(gfβ)(β1)
c) Berechnen Sie unter Verwendung der Ableitungsregeln (gegebenenfalls nach vorheriger Vereinfachung)
(f+g)β²,(fβg)β²,(fβ
g)β² und (gfβ)β²
d) Welche Steigung hat die Tangente
- bei der Summenfunktion f+g an der Stelle x0β=1 ?
- bei der Differenzenfunktion fβg an der Stelle x0β=0 ?
- bei der Produktfunktion fβ
g an der Stelle x0β=β1 ?
- bei der Quotientenfunktion gfβ an der Stelle x0β=3 ?
Problem/Ansatz:
a) f+g=(x3+x2β4xβ4)+(xβ2)=x3+x2β3xβ6
fβg=(x3+x2β4xβ4)β(xβ2)=x3+x2β5xβ2
fβ
g=(x3+x2β4xβ4)(xβ2)=x4+x3β4x2β4xβ2x3β2x2+8x+8=x4βx3β6x2+4x+8
gfβ=(x3+x2β4xβ4) : (xβ2)=x2+3x+2
β(x3β2x2)
3x2
β(3x2β6x)
2x
β(2xβ4)
b) 03+02β0xβ4+0β2=β6
13+12β4β4β(β1)β(β2)=β3
(0,53+0,52β2β4)(0,5β2)=16135β=8,44
(β13+β12+4β4) : (β1β2)=0
c) f(x)=x3+x2β4xβ4
fβ²(x)=3x2+2xβ4
fβ²β²(x)=6x+2
g(x)=xβ2
gβ²(x)=1
fβ²+gβ²=3x2+2xβ3
fβ²βgβ²=3x2+2xβ5
fβ²βgβ²=3x2+2xβ4
f/g=?
d) 3+5β3=5
0+0β5=β5
β3+2β4=β5
?
Die Ableitung ist ja 1, aber soll man damit die ganze sache einfach unverΓ€ndert lassen? FΓΌhlt sich irgendwie nicht richtig an