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Aufgabe: Ableitung Kontrolle und Hilfe

Gegeben sind die Funktionen

f : xβ†’x3+x2βˆ’4xβˆ’4 \mathrm{f}: \mathrm{x} \rightarrow \mathrm{x}^{3}+\mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}-4
g : xβ†’xβˆ’2 g: x \rightarrow x-2
a) Geben Sie die zusammengesetzten Funktionen f+g,fβˆ’g,fβ‹…g \mathrm{f}+\mathrm{g}, \mathrm{f}-\mathrm{g}, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g} und fg \frac{\mathrm{f}}{\mathrm{g}} an.

b) Berechnen Sie die Funktionswerte an den angegebenen Stellen:
(f+g)(0) (\mathbf{f}+\mathrm{g})(0)
(fβˆ’g)(1) (\mathbf{f}-\mathrm{g})(1)
(fβ‹…g)(12) (\mathbf{f} \cdot \mathrm{g})\left(\frac{1}{2}\right)
(fg)(βˆ’1) \left(\frac{\mathrm{f}}{\mathrm{g}}\right)(-1)

c) Berechnen Sie unter Verwendung der Ableitungsregeln (gegebenenfalls nach vorheriger Vereinfachung)
(f+g)β€²,(fβˆ’g)β€²,(fβ‹…g)β€² (\mathbf{f}+\mathrm{g})^{\prime},(\mathrm{f}-\mathrm{g})^{\prime}, \quad(\mathrm{f} \cdot \mathrm{g})^{\prime} und (fg)β€² \left(\frac{\mathrm{f}}{\mathrm{g}}\right)^{\prime}

d) Welche Steigung hat die Tangente
- bei der Summenfunktion f+g \mathrm{f}+\mathrm{g} an der Stelle x0=1 \mathrm{x}_{0}=1 ?
- bei der Differenzenfunktion fβˆ’g \mathrm{f}-\mathrm{g} an der Stelle x0=0 \mathrm{x}_{0}=0 ?
- bei der Produktfunktion fβ‹…g \mathrm{f} \cdot \mathrm{g} an der Stelle x0=βˆ’1 \mathrm{x}_{0}=-1 ?
- bei der Quotientenfunktion fg \frac{\mathrm{f}}{\mathrm{g}} an der Stelle x0=3 \mathrm{x}_{0}=3 ?



Problem/Ansatz:


a) f+g=(x3+x2βˆ’4xβˆ’4)+(xβˆ’2)=x3+x2βˆ’3xβˆ’6 f+g=\left(x^{3}+x^{2}-4 x-4\right)+(x-2)=x^{3}+x^{2}-3 x-6
fβˆ’g=(x3+x2βˆ’4xβˆ’4)βˆ’(xβˆ’2)=x3+x2βˆ’5xβˆ’2 f-g=\left(x^{3}+x^{2}-4 x-4\right)-(x-2)=x^{3}+x^{2}-5 x-2
fβ‹…g=(x3+x2βˆ’4xβˆ’4)(xβˆ’2)=x4+x3βˆ’4x2βˆ’4xβˆ’2x3βˆ’2x2+8x+8=x4βˆ’x3βˆ’6x2+4x+8 f\cdot g=\left(x^{3}+x^{2}-4 x-4\right)(x-2)=x^{4}+x^{3}-4 x^{2}-4 x-2 x^{3}-2 x^{2}+8 x+8=x^{4}-x^{3}-6 x^{2}+4 x+8
fg=(x3+x2βˆ’4xβˆ’4) : (xβˆ’2)=x2+3x+2\frac{f}{g}=\left(x^{3}+x^{2}-4 x-4\right):(x-2)=x^{2}+3 x+2
βˆ’(x3βˆ’2x2) -\left(x^{3}-2 x^{2}\right)
3x2 3 x^{2}
βˆ’(3x2βˆ’6x) -\left(3 x^{2}-6 x\right)
2x 2 x
βˆ’(2xβˆ’4) -(2 x-4)

b) 03+02βˆ’0xβˆ’4+0βˆ’2=βˆ’6 0^{3}+0^{2}-0 x-4+0-2=-6
13+12βˆ’4βˆ’4βˆ’(βˆ’1)βˆ’(βˆ’2)=βˆ’3 1^{3}+1^{2}-4-4-(-1)-(-2)=-3
(0,53+0,52βˆ’2βˆ’4)(0,5βˆ’2)=13516=8,44 \left(0,5^{3}+0,5^{2}-2-4\right)(0,5-2)=\frac{135}{16}=8,44
(βˆ’13+βˆ’12+4βˆ’4) : (βˆ’1βˆ’2)=0 \left(-1^{3}+-1^{2}+4-4\right):(-1-2)=0

c) f(x)=x3+x2βˆ’4xβˆ’4 f(x)=x^{3}+x^{2}-4 x-4
fβ€²(x)=3x2+2xβˆ’4 f^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 x-4
fβ€²β€²(x)=6x+2 f^{\prime \prime}(x)=6 x+2
g(x)=xβˆ’2 g(x)=x-2
gβ€²(x)=1 g^{\prime}(x)=1


fβ€²+gβ€²=3x2+2xβˆ’3 f^{\prime}+g^{\prime}=3 x^{2}+2 x-3
fβ€²βˆ’gβ€²=3x2+2xβˆ’5 f^{\prime}-g^{\prime}=3 x^{2}+2 x-5
fβ€²βˆ—gβ€²=3x2+2xβˆ’4 f^{\prime} * g^{\prime}=3 x^{2}+2 x-4
f/g=? f / g=?

d) 3+5βˆ’3=5 3+5-3=5
0+0βˆ’5=βˆ’5 0+0-5=-5
βˆ’3+2βˆ’4=βˆ’5 -3+2-4=-5
?

Die Ableitung ist ja 1, aber soll man damit die ganze sache einfach unverΓ€ndert lassen? FΓΌhlt sich irgendwie nicht richtig an

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2 Antworten

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Die Quotientenfunktion ist x2(x+1)βˆ’4(x+1)xβˆ’2 \frac{x^2(x+1)-4(x+1)}{x-2} =(x2βˆ’4)(x+1)x+2 \frac{(x^2-4)(x+1)}{x+2} =(x+2)(x+1)=x2+3x+2=q(x).

Ihre Ableitung ist q '(x)=2x+3. Dann ist q '(3)=9.

Avatar von 124 k πŸš€
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Du sollst (fβ‹…g)β€²(f\cdot g)' berechnen. Du hast fβ€²β‹…gβ€²f'\cdot g' berechnet. Das ist nicht das gleiche.

Avatar von 107 k πŸš€

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