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(b) Es sei \( f \in \operatorname{End}\left(\mathbb{R}^{2}\right) \) mit
$$ M_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f)=\left(\begin{array}{ll} -1 & 1 \\ -6 & 4 \end{array}\right) . $$
Bestimmen Sie \( M_{\mathcal{C}, \mathcal{B}}(f) \) und \( M_{\mathcal{C}, \mathcal{C}}(f) \).
(c) Bestimmen Sie \( M_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f)^{2021} \).

wie berechen die aufgabe c)

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Aloha :)

Ich schreibe im Folgenden kurz \(\mathbf M\) an Stelle von \(M_{B,B}(f)\). Zur Berechenung von \(M^{2021}\) transformieren wir die Matrix zunächst auf Diagonalgestalt. Dazu brauchen wir ihre Eigenwerte \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) sowie die zugehörigen Eigenvektoren \(\vec x_1\) und \(\vec x_2\).

Die Determinante einer Matrix ist gleich dem Produkt der Eigenwerte und die Spur einer Matrix ist gleich der Summe der Eigenwerte. Daher ist:$$\lambda_1\cdot\lambda_2=2\quad;\quad\lambda_1+\lambda_2=3\quad\implies\quad\lambda_1=1\quad;\quad\lambda_2=2$$

Die zugehörigen Eigenvektoren sind:

$$\mathbf M\vec x_1=\lambda_1\vec x_1\implies \left(\mathbf M-\lambda_1\cdot\mathbf 1\right)\vec x_1=\vec 0\implies\left(\begin{array}{rr}-2 & 1\\-6 & 3\end{array}\right)\vec x_1=\vec 0\implies\vec x_1=\binom{1}{2}$$$$\mathbf M\vec x_2=\lambda_2\vec x_2\implies \left(\mathbf M-\lambda_2\cdot\mathbf 1\right)\vec x_2=\vec 0\implies\left(\begin{array}{rr}-3 & 1\\-6 & 2\end{array}\right)\vec x_2=\vec 0\implies\vec x_2=\binom{1}{3}$$

Mit den Eigenvektoren können wir eine invertierbare Matrix \(\mathbf S\) definieren$$\mathbf S\coloneqq\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\2 & 3\end{array}\right)\quad;\quad \mathbf S^{-1}=\left(\begin{array}{rr}3 & -1\\-2 & 1\end{array}\right)$$mit der wundervollen Eigenschaft, dass:$$\mathbf S^{-1}\cdot\mathbf M\cdot\mathbf S=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}$$

Diese Gleichung können wir nach \(\mathbf M\) umstellen:$$\mathbf M=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot \mathbf S^{-1}$$und nun die Potenzen von \(\mathbf M\) schnell angeben. Damit du die Idee verstehst, schau dir bitte mal die ersten Potenzen an:

$$\mathbf M^2=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot\underbrace{\mathbf S^{-1}\cdot\mathbf S}_{=\mathbf 1}\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot \mathbf S^{-1}=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}^2\cdot \mathbf S^{-1}$$$$\mathbf M^3=\mathbf M^2\cdot\mathbf M=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}^2\cdot\underbrace{\mathbf S^{-1}\cdot\mathbf S}_{=\mathbf 1}\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot \mathbf S^{-1}=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}^3\cdot \mathbf S^{-1}$$$$\mathbf M^4=\mathbf M^3\cdot\mathbf M=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}^3\cdot\underbrace{\mathbf S^{-1}\cdot\mathbf S}_{=\mathbf 1}\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot \mathbf S^{-1}=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}^4\cdot \mathbf S^{-1}$$

Langer Rede kurzer Sinn:

$$\mathbf M^{2021}=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}^{2021}\cdot \mathbf S^{-1}=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1^{2021} & 0\\0 & 2^{2021}\end{pmatrix}\cdot \mathbf S^{-1}$$$$\mathbf M^{2021}=\left(\begin{array}{rr}3-2\cdot2^{2021} & 2^{2021}-1\\6-6\cdot2^{2021} & 3\cdot2^{2021}-2\end{array}\right)$$

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