berechen Matrix Mb,b(f)2021

Question

Text erkannt:

(b) Es sei $f \in \operatorname{End}\left(\mathbb{R}^{2}\right)$ mit
$$M_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f)=\left(\begin{array}{ll} -1 & 1 \\ -6 & 4 \end{array}\right) .$$
Bestimmen Sie $M_{\mathcal{C}, \mathcal{B}}(f)$ und $M_{\mathcal{C}, \mathcal{C}}(f)$.
(c) Bestimmen Sie $M_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f)^{2021}$.

wie berechnen die aufgabe c)

Answer 1

Aloha :)

Ich schreibe im Folgenden kurz $\mathbf M$ an Stelle von $M_{B,B}(f)$. Zur Berechenung von $M^{2021}$ transformieren wir die Matrix zunächst auf Diagonalgestalt. Dazu brauchen wir ihre Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$ sowie die zugehörigen Eigenvektoren $\vec x_1$ und $\vec x_2$.

Die Determinante einer Matrix ist gleich dem Produkt der Eigenwerte und die Spur einer Matrix ist gleich der Summe der Eigenwerte. Daher ist:$$\lambda_1\cdot\lambda_2=2\quad;\quad\lambda_1+\lambda_2=3\quad\implies\quad\lambda_1=1\quad;\quad\lambda_2=2$$

Die zugehörigen Eigenvektoren sind:

$$\mathbf M\vec x_1=\lambda_1\vec x_1\implies \left(\mathbf M-\lambda_1\cdot\mathbf 1\right)\vec x_1=\vec 0\implies\left(\begin{array}{rr}-2 & 1\\-6 & 3\end{array}\right)\vec x_1=\vec 0\implies\vec x_1=\binom{1}{2}$$$$\mathbf M\vec x_2=\lambda_2\vec x_2\implies \left(\mathbf M-\lambda_2\cdot\mathbf 1\right)\vec x_2=\vec 0\implies\left(\begin{array}{rr}-3 & 1\\-6 & 2\end{array}\right)\vec x_2=\vec 0\implies\vec x_2=\binom{1}{3}$$

Mit den Eigenvektoren können wir eine invertierbare Matrix $\mathbf S$ definieren$$\mathbf S\coloneqq\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\2 & 3\end{array}\right)\quad;\quad \mathbf S^{-1}=\left(\begin{array}{rr}3 & -1\\-2 & 1\end{array}\right)$$mit der wundervollen Eigenschaft, dass:$$\mathbf S^{-1}\cdot\mathbf M\cdot\mathbf S=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}$$

Diese Gleichung können wir nach $\mathbf M$ umstellen:$$\mathbf M=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot \mathbf S^{-1}$$und nun die Potenzen von $\mathbf M$ schnell angeben. Damit du die Idee verstehst, schau dir bitte mal die ersten Potenzen an:

$$\mathbf M^2=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot\underbrace{\mathbf S^{-1}\cdot\mathbf S}_{=\mathbf 1}\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot \mathbf S^{-1}=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}^2\cdot \mathbf S^{-1}$$$$\mathbf M^3=\mathbf M^2\cdot\mathbf M=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}^2\cdot\underbrace{\mathbf S^{-1}\cdot\mathbf S}_{=\mathbf 1}\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot \mathbf S^{-1}=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}^3\cdot \mathbf S^{-1}$$$$\mathbf M^4=\mathbf M^3\cdot\mathbf M=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}^3\cdot\underbrace{\mathbf S^{-1}\cdot\mathbf S}_{=\mathbf 1}\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot \mathbf S^{-1}=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}^4\cdot \mathbf S^{-1}$$

Langer Rede kurzer Sinn:

$$\mathbf M^{2021}=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}^{2021}\cdot \mathbf S^{-1}=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1^{2021} & 0\\0 & 2^{2021}\end{pmatrix}\cdot \mathbf S^{-1}$$$$\mathbf M^{2021}=\left(\begin{array}{rr}3-2\cdot2^{2021} & 2^{2021}-1\\6-6\cdot2^{2021} & 3\cdot2^{2021}-2\end{array}\right)$$