HI. Kann jemand mir mit dieser Aufgabe helfen?
Sei f(x)=∑n=0∞an(x−a)n f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-a)^{n} f(x)=n=0∑∞an(x−a)n mit a,an∈R a, a_{n} \in \mathbb{R} a,an∈R für alle n∈N n \in \mathbb{N} n∈N.Zeigen Sie, dass dann f(k)(a)=k!ak f^{(k)}(a)=k ! a_{k} f(k)(a)=k!ak für all k∈N k \in \mathbb{N} k∈N gilt.
Ich habe leider gar keine Ideen...
Hallo
mit x=a fallen alle Potenzen (x-a)k weg für k ≠0
welches Glied ≠0 hast du dann noch bei f^(k)
in der summe sind alle Glieder mit (x-a)m mit m<k schon weggefallen Alls mit m>k haben noch einen Exponenten ≠0 bleibt nur das k mal differenzierte (x-a)k
Gruß lul
Hallo :-)
Ich mache mal die ersten drei Ableitungen:
f(0)(x)=∑n=0∞an(x−a)nf(1)(x)=∑n=1∞n⋅an(x−a)n−1=∑n=0∞(n+1)⋅an+1(x−a)nf(2)(x)=∑n=1∞n⋅(n+1)⋅an+1(x−a)n−1=∑n=0∞(n+1)⋅(n+2)⋅an+2(x−a)nf(3)(x)=∑n=1∞n⋅(n+1)⋅(n+2)⋅an+2(x−a)n−1=∑n=0∞(n+1)⋅(n+2)⋅(n+3)⋅an+3(x−a)n f^{(0)}(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-a)^{n}\\[10pt] f^{(1)}(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} n\cdot a_{n}(x-a)^{n-1}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} (n+1)\cdot a_{n+1}(x-a)^{n}\\[10pt] f^{(2)}(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} n\cdot (n+1)\cdot a_{n+1}(x-a)^{n-1}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} (n+1)\cdot (n+2)\cdot a_{n+2}(x-a)^{n}\\[10pt] f^{(3)}(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot a_{n+2}(x-a)^{n-1}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} (n+1)\cdot (n+2)\cdot (n+3)\cdot a_{n+3}(x-a)^{n}f(0)(x)=n=0∑∞an(x−a)nf(1)(x)=n=1∑∞n⋅an(x−a)n−1=n=0∑∞(n+1)⋅an+1(x−a)nf(2)(x)=n=1∑∞n⋅(n+1)⋅an+1(x−a)n−1=n=0∑∞(n+1)⋅(n+2)⋅an+2(x−a)nf(3)(x)=n=1∑∞n⋅(n+1)⋅(n+2)⋅an+2(x−a)n−1=n=0∑∞(n+1)⋅(n+2)⋅(n+3)⋅an+3(x−a)n
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