Differenzieren von Potenzreihen

Question

HI. Kann jemand mir mit dieser Aufgabe helfen?

Sei \( f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-a)^{n} \) mit \( a, a_{n} \in \mathbb{R} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).
Zeigen Sie, dass dann \( f^{(k)}(a)=k ! a_{k} \) für all \( k \in \mathbb{N} \) gilt.

Ich habe leider gar keine Ideen...

Answer 1

Hallo

mit x=a fallen alle Potenzen (x-a)^k weg für k ≠0

welches Glied ≠0 hast du dann noch bei f^(k)

in der summe sind alle Glieder mit (x-a)^m mit m<k schon weggefallen Alls mit m>k haben noch einen Exponenten ≠0 bleibt nur das k mal differenzierte (x-a)^k

Gruß lul

Answer 2

Hallo :-)

Ich mache mal die ersten drei Ableitungen:

$$ f^{(0)}(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-a)^{n}\\[10pt] f^{(1)}(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} n\cdot a_{n}(x-a)^{n-1}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} (n+1)\cdot a_{n+1}(x-a)^{n}\\[10pt] f^{(2)}(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} n\cdot (n+1)\cdot a_{n+1}(x-a)^{n-1}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} (n+1)\cdot (n+2)\cdot a_{n+2}(x-a)^{n}\\[10pt] f^{(3)}(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot a_{n+2}(x-a)^{n-1}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} (n+1)\cdot (n+2)\cdot (n+3)\cdot a_{n+3}(x-a)^{n}$$

Erkennst du eine Struktur?