Berechnen Sie den Fluss von \vec{F} durch die Oberfläche eines Kugelausschnitts mit r ∈ [0,a], ϑ ∈ [0,π/2], φ ∈ [0,π/2]

Question

Aufgabe:

Gegeben sei das Vektorfeld $\vec{F}$($\vec{r}$ ) = zê_x + yzê_y + yê_z

Berechnen Sie den Fluss von $\vec{F}$ durch die Oberfläche eines Kugelausschnitts mit r ∈ [0,a], ϑ ∈ [0,π/2], φ ∈ [0,π/2]

Problem/Ansatz:

Bin etwas mit der Berechnung durch ein Kugelausschnitt überfordert. Ist damit einfach nur eine halbe Kugel gemeint?

Answer 1

Aloha :)

Bei dem Kugelausschnitt handelt es sich um eine Achtelkugel im ersten Oktanden des Koordinatensystems. Wegen der Form des Vektorfeldes $\vec F$ bietet es sich hier an, den Fluss mit Hilfe des Gaußschen Satzes zu berechnen:$$\Phi=\iint\limits_{\partial V}\vec F\,d\vec f=\iiint\limits_V\operatorname{div}\vec F\,dV=\iiint\limits_V\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}z\\yz\\y\end{pmatrix}dV=\iiint\limits_Vz\,dV$$Wir gehen zu Kugelkoordinaten über:$$\Phi=\int\limits_{r=0}^a\int\limits_{\varphi=0}^{\pi/2}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\underbrace{r\cos\vartheta}_{=z}\cdot \underbrace{r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta}_{=dV}=\int\limits_{r=0}^a r^3dr\int\limits_{\varphi=0}^{\pi/2}d\varphi\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\sin\vartheta\,\cos\vartheta\,d\vartheta$$$$\phantom{\Phi}=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^a\cdot\left[\varphi\right]_0^{\pi/2}\cdot\left[\frac{1}{2}\sin^2\varphi\right]_0^{\pi/2}=\frac{a^4}{4}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\pi}{16}a^4$$