Hallo Clara,
Deine Frage hatte ich übersehen. Aber eine späte Antwort ist besser als gar keine:
Jeder Kreis, dessen Durchmesser eine der Seiten des Dreiecks ist, geht auch durch zwei Höhenfußpunkte.
Somit sind die Winkel ∠CHcHb und ∠CBHb (lila) Peripheriewinkel im lila Kreis über der Sehne HbC und ∠HaHcC und ∠HaAC (gelb) im gelben Kreis über der Sehne CHa jeweils paarweise gleich groß.
Im dritten Kreis (grün) sind die Winkel ∠HaAHb (gelb) und ∠HaBHb (lila) Peripheriewinkel über der Sehne HaHb und somit ebenfalls gleich groß.
Daraus folgt, dass alle vier Winkel gleich groß sind und jede Höhe auch Winkelhalbierende des Winkels ist, der durch die beiden Geraden (hellblau) durch den Höhenfußpunkt der jeweiligen Höhe (hier Hc) zu den beiden anderen Höhenfußpunkten gebildet wird. Die Höhen schneiden sich in einem Punkt H und somit ist H auch Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Dreieck △HaHbHc und Mittelpunkt der Inkreises in △HaHbHc.
Gruß Werner