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Aufgabe:
2. Beweisen Sie den folgenden Satz elementargeometrisch:
Satz: In einem spitzwinkligen Dreieck ABC A B C ist der Schnittpunkt der Höhen H H der Mittelpunkt des Inkreises im Dreieck der Höhenfußpunkte ΔHaHbHc \Delta H_{a} H_{b} H_{c} .

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Hallo Clara,

Deine Frage hatte ich übersehen. Aber eine späte Antwort ist besser als gar keine:

Jeder Kreis, dessen Durchmesser eine der Seiten des Dreiecks ist, geht auch durch zwei Höhenfußpunkte.

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Somit sind die Winkel CHcHb\angle CH_cH_b und CBHb\angle CBH_b (lila) Peripheriewinkel im lila Kreis über der Sehne HbCH_bC und HaHcC\angle H_aH_cC und HaAC\angle H_aAC (gelb) im gelben Kreis über der Sehne CHaCH_a jeweils paarweise gleich groß.

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Im dritten Kreis (grün) sind die Winkel HaAHb\angle H_aAH_b (gelb) und HaBHb\angle H_aBH_b (lila) Peripheriewinkel über der Sehne HaHbH_aH_b und somit ebenfalls gleich groß.

Daraus folgt, dass alle vier Winkel gleich groß sind und jede Höhe auch Winkelhalbierende des Winkels ist, der durch die beiden Geraden (hellblau) durch den Höhenfußpunkt der jeweiligen Höhe (hier HcH_c) zu den beiden anderen Höhenfußpunkten gebildet wird. Die Höhen schneiden sich in einem Punkt HH und somit ist HH auch Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Dreieck HaHbHc\triangle H_aH_bH_c und Mittelpunkt der Inkreises in HaHbHc\triangle H_aH_bH_c.

Gruß Werner

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