Berechnen Sie die Länge einer Höhe, den Radius des Umkreises und den Radius des Inkreises.

Question

Aufgabe:

1. Es wird ein gleichseitiges Dreieck mit der Kantenlänge \( \overline{A B} \) konstruiert. Berechnen Sie die Länge einer Höhe, den Radius des Umkreises und den Radius des Inkreises. Begründen Sie Ihren Lösungsweg.

Answer 1

Ich setze \( \overline{A B} \)=a und die Höhe der gleichseitigen Dreiecks =h. r= Radius des Inkreises und R=Radius des Umkreises.

Im gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a gilt (\( \frac{a}{2} \))²+h²=a². Daraus folgt h=\( \frac{\sqrt{3}a}{2} \).

Im gleichseitigen Dreieck fallen die Schnittpunkte der Höhen, der Winkelhalbierenden und der Seitenhalbierenden in einem Punkt zusammen, Daher gilt R=2r und r+R=h. Also r=\( \frac{\sqrt{3}a}{6} \) und R=\( \frac{\sqrt{3}a}{3} \).

Answer 2

Berechnen Sie die Länge einer Höhe.

Ein gleichseitiges Dreieck wird durch die Höhe in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke zerlegt. In jedem dieser Dreiecke gilt der Satz des Pythagoras. Wo ist dann genau das Problem?