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Aufgabe:


Berechnen Sie den kubischen interpolierenden Spline \( s(x) \) zur Funktion
$$ f(x)=\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{2} x\right) $$
auf \( [-1,3] \) mit Stützstellen \( x_{i}=-1+i h, h=1 \) für \( i=0,1,2,3,4 \) und periodischen Randbedingungen. Bestimmen Sie zuerst das Gleichungssystem für die Steigungen \( b_{i} \). Was folgt sofort für die \( b_{i} \) ? Bestimmen Sie dann die Koeffizienten der Teilpolynome \( s_{i} \) auf \( \left[x_{i}, x_{i+1}\right] \).


Könnte mir bitte dabei helfen?

Ich habe so gemacht aber ich weiß nicht ob das richtig ist und ich komme auch nicht weiter


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:)

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was weißt du über kubische splines?

guckst du https://www.geogebra.org/m/s5g89mqy

über 5 stützstellen wären 4 kubische parabel abschnitte zu bestimmen, aweng viel schreibarbeit, siehe link

welchen input brauchst du

ggf daten in app übernehmen...

blob.png

Periodische Randbedingungen

\(p_1^{'}(x_0) = p_n^{'}(x_n) \) ===> A1:={ddp(1,XY(0,1))=ddp(n,XY(n,1))}

\(p_1^{''}(x_0) = p_n^{''}(x_n)  \) ===> A6:={dp(1,XY(0,1))=dp(n,XY(n,1))}

\(\small s(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x^{3}+3 x^{2} & : x<0 \\ -2 x^{3}+3 x^{2} & : 0 \leq x \leq 1 \\ 2 x^{3}-9 x^{2}+12 x-4 & : 1<x \leq 2 \\ -2 x^{3}+15 x^{2}-36 x+28 & : \text { otherwise }\end{array}\right. \)

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Was muss ich jetzt machen? ich habe nicht verstanden

Du musst nachlesen wie man kubische Splines baut.

Erklärung z.B. im Link

Kurzform: ein lineares Gleichungssystem 16x16 aufbauen und lösen...

mögliches Ergebnis siehe oben...



Ich weiß es nicht wie ich die Webseite benutze und was und wie alles eingeben soll

Könntest du mir bitte dabei helfen?

In dem verlinken Beispiel werden zu 4 Stützpunkten 3 Splines berechnet und das Verfahren ausführlich beschrieben:

- ziehe die Stützpunkte auf z.B. Ao=(0,0) A1=(1,1) A2=(2,0) A3=(3,1) - das würde Deinen Daten für i=1,2,3,4 entsprechen...

- dann baut die App das entsprechende LGS Zeile 5,6,7 (Matrix dazu Zeile 14)

- aus der Lösung dieses LGS entstehen 3 Splines Zeile 10,11,12

wenn Du die Grundlagen der Gleichungen und das Verfahren verstanden hast, kannst Du weiter unten auf der Seite

Link: Kubische Splines im CAS (Aufbau des LGS/der Matrix)

Dein eigentliches Problem angehen und noch einen Stützpunkt dazu nehmen

wie kommst du darauf Ao=(0,0) A1=(1,1) A2=(2,0) A3=(3,1) ?

Außerdem i ist gleich 0,1,2,3,4

nicht 1,2,3,4

Spielt das keine Rolle?


Die Stützpunkte sind -1,0,1,2,3 oder?

Außerdem ich weiß nicht wo genau ich die Stützpunkte im Link schreiben soll...

Um zu verstehen was bei einer Spline-Berechnung abgeht ist es unerheblich wie viele Stützpunkte man verwendet - weniger ist mehr!

Welche Stützpunkte zu verwenden sind steht in Deiner Aufgabe :

auf \( [-1,3] \) mit Stützstellen \( x_{i}=-1+i h, h=1 \) für \( i=0,1,2,3,4 \)

Wo schreibe ich im Link die Stützpunkte?

Was hast Du an

-ziehe die Stützpunkte auf z.B. Ao=(0,0) A1=(1,1) A2=(2,0) A3=(3,1) - das würde Deinen Daten für i=1,2,3,4 entsprechen...

nicht verstanden?

wie mache ich das? ich verstehe nicht

so wird das nix....

ich hab den ursprünglichen artikel nochmal überarbeitet und die periodischen randbedingungen eingearbeitet. da siehst du wo du hin willst.

dazu musst du die 4 kubischen parabel funktionen pi aufstellen und ableiten pi‘. die stützpunkte einsetzen!

oben kannst du erkennen welchen wert die ableitung an den stützstellen hat. löse diese lgs und prüfe, wie weit uns das ergebnis bringt...

Ich muss alles im Link machen oder?

das machst du am besten so, dass was dabei rum kommt. bisher war deine arbeit mit den verlinkten  apps nicht besonders erfolgversprechend?

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Ich komme jetzt nicht weiter

sehr gut...

bilde die ableitungen von s1,s2,s3,s4

wir wissen entsprechend dem bild oben, dass die ableitung an den stützpunkten ein lokales min bzw. max bildet, also alle si´=0 sind. aus diesem lgs solltest du zumindest einige teillösungen erhalten...

im bild oben siehe 1.zeile und die 3 zeilen, die am linken rand beginnen. repräsentieren die gleichsetzungen der ableitungen, die du aufgeschrieben hast entsprechend dem standard spline verfahren...

schon erledigt danke :)

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