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Vorwort:

Der Artikel dient der Ausdehnung der Informationsübermittlung des mathematischen Spektrums auf der Mathelounge.

Gerolamo Cardano war ein italienischer Arzt, Philosoph und Mathematiker. Die Cardanischen Formeln wurden erstmals 1545 in seinem Buch "Ars magna" veröffentlicht, was soviel heißt wie: "Die Kunst der großen Dinge".

Da wie ich finde, es am Effektivsten ist anhand eines Beispiels die Anwendung und den Zweck der Cardanischen Formeln zu erläutern, werde ich nun einen Sachverhalt schildern, welcher mit den Formeln gelöst werden kann.

Anwendungsbeispiel:

Wie sieht so eine Gleichung überhaupt aus?

Die allgemeine Gleichung dritten Grades (Kubische Gleichung) lautet wie folgt:

$$ Ax^3+Bx^2+Cx+D=0 $$Kommen wir nun, zu unserem frei-erfundenen Anwendungsbeispiel:

$$ 3x^3+21x^2+3x-45=0$$Da es sich bei dieser Gleichung nur um reelle Zahlen handelt kann man durch Division von "A" ,die Funktion zunächst in die Normalform bringen:$$ x^3+ax^2+bx+c=0$$ Übertragen wir dieses Schema auf unser Beispiel:$$ x^3+7x^2+1x-15$$

Vorbereitungen vor der Formeleinsetzung

Da wir nun eine Funktion haben, deren Anforderungen der Cardanischen Formel entsprechen, müssen wir nun jedoch noch einige Vorbereitungen abschließen.

Wir müssen das quadratische Glied beseitigen. Das geht am besten mit der Substitution:$$ x=z-\frac{a}{3} $$ Dadurch erhalten wir eine reduzierte Form der Gleichung:$$ z^3+pz+q=0 $$ Nun sind wir schon bei der ersten Formel angekommen. Wir müssen vorab das "p" und das "q" der reduzierten Funktion ausrechnen. Das tun wir wie folgt:$$ p=b-\frac{a^2}{3}\quad und \quad q=\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c $$ Mit diesen im Hinterkopf, können wir nun unser Anwendungsbeispiel dort hineinsetzen (Aufpassen, hier muss die Normalform benutzt werden):$$ p=1-\frac{7^2}{3}=-\frac{46}{3}\quad und \quad q=\frac{2\cdot 7^3}{27}-\frac{7\cdot 1}{3}+(-15)≈8.074$$

Wie viele verschiedene Schnittstellen haben wir an der X-Achse?

Diese Frage kann man sich ganz einfach mit einer leichten Formel beantworten:$$ Δ=(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3 $$Setzen wir unsere Werte dort ein: $$ Δ=(\frac{8.074}{2})^2+(\frac{-\frac{46}{3}}{3})^3≈-177.223 $$Hierbei ist zu beachten, dass (D=Δ):

8c175e03a2778640db21d8dcf6501c0d.png

In unserem Beispiel heißt das, dass wir dem grünen Graphen entsprechen und es drei reelle Nullstellen gibt.

Formeleinsetzung und endgültige Nullstellenerrechnung:

Nun kommt der spannendste Part der Cardanischen Formeln. Wir sind bereit alle ausgerechneten Glieder in die Formel einzusetzen. Dafür brauchen wir aber erst einmal alle Formeln:$$ {x}_{1}=\sqrt{-\frac{4}{3}p}\cdot cos(\frac{1}{3}arccos(-\frac{q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}}))-\frac{B}{3A} $$$$ {x}_{2}=-\sqrt{-\frac{4}{3}p}\cdot cos(\frac{1}{3}arccos(-\frac{q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}})+\frac{π}{3})-\frac{B}{3A} $$$$ {x}_{3}=-\sqrt{-\frac{4}{3}p}\cdot cos(\frac{1}{3}arccos(-\frac{q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}})-\frac{π}{3})-\frac{B}{3A} $$ Nun sind wir startbereit und können unsere Werte einsetzen!:$$ {x}_{1}=\sqrt{-\frac{4}{3}\cdot(-\frac{46}{3})}\cdot cos(\frac{1}{3}arccos(-\frac{8.074}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{(-\frac{46}{3})^3}}))-\frac{21}{3\cdot3}≈1.286$$$$ {x}_{2}=-\sqrt{-\frac{4}{3}\cdot(-\frac{46}{3})}\cdot cos(\frac{1}{3}arccos(-\frac{8.074}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{(-\frac{46}{3})^3}})+\frac{π}{3})-\frac{21}{3\cdot3}≈-1.797 $$$$ {x}_{3}=-\sqrt{-\frac{4}{3}\cdot(-\frac{46}{3})}\cdot cos(\frac{1}{3}arccos(-\frac{8.074}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{(-\frac{46}{3})^3}})-\frac{π}{3})-\frac{21}{3\cdot3}≈-6.49$$

Stimmen diese Ergebnisse überhaupt?

Ja, diese stimmen. Wir können, wenn du Zweifel hast diese gerne noch einmal überprüfen:

~plot~ 3x^3+21x^2+3x-45 ~plot~

Fazit:

Insgesamt sind die Cardanischen Formeln sehr aufwendig. Es sind sehr viele Formeln, welche man mühselig in den Taschenrechner eintippen muss. Doch für das Lösen einer kubischen Gleichung finde ich sie doch sehr hilfreich, da sie für mich zumindestens leicht zu verstehen war.

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geschlossen: Mathe-Artikel
von Gast jc2144
von 19 k

Der Artikel ist dir meiner Meinung nach gelungen. Du hast am Anfang einen kurzen historischen Hintergrund zu dem Thema gegeben und dann ausführlich mit einem guten Verhältnis zischen Fachbegriffen und etwas umgangssprachlichereren Formulierungen das Thema erklärt.

Danke für das postive Feedback.

Ich würde mich über vielleicht enthaltene Fehlerfunde und ein Feedback freuen! :)

Du hast am Anfang einen kurzen historischen Hintergrund

Danke, sowas ist viel interessanter wenn man einen kleinen historischen Hintergrund einbaut. Danke, dass du das honoriert hast!

Hi, Anton!

Schön, dass du einen Artikel veröffentlicht hast und Begeisterung zeigst! :)

"Carnadische Formeln" waren mir bis vor ein paar Minuten kein Begriff. Aus der Schule kenne ich lediglich die p-q-Formel oder die quadratische Ergänzung zur Nullstellenbestimmung. Somit habe ich auch was neues gelernt.

Der Artikel ist verständlich und der kleine historische Hintergrund ist ebenfalls schick.

Einen kleinen Verbesserungsvorschlag für deinen nächsten Artikel (falls du einen einen schreiben solltest) habe ich: Du schreibst "Hierbei ist zu beachten, dass ( \(D= \Delta ) \)". Das hat mich irritiert, da in der allgemeinen Darstellung des Polynoms dritten Grades "D" bereits der Wert des y-Achsenabschnitts ist. Solche doppelte Bezeichnungen sollte man lieber vermeiden finde ich.

Ansonsten: Weiter so!

Dane für das Lob @BruceJung!

Mit "D" ist in der Grafik die Diskriminate ∆ gemeint. Du hast recht, das ist eine wirklich unschöne Formulierung.

"Aus der Schule kenne ich lediglich die p-q-Formel oder die quadratische Ergänzung."

Ich auch. Ich habe nur meine Freude daran gefunden mit den Plottern herumzuspielen und verschiedene Funktionsgleichungen einzugeben. Irgendwann wollte ich dann wissen wie man von meinen spielerisch erfundenen Funktionen die Nullstellen ermittelt. Durch einen Hinweis vom Mitglied "-Wolfgang-"  auf die Cardanischen Formeln und die raffinierte Hilfe von Mitglied "gorgar" habe ich dann die Cardanischen Formeln gelernt.

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