Aufgabe:
Finden Sie alle reellen nichttrivialen Lösungen der Gleichungen2x1 − 3x2 − x3 + x4 = 0,3x1 + 4x2 − 4x3 − 3x4 = 0,17x2 − 5x3 − 9x4 = 0.Zeigen Sie ferner, dass eine dieser Lösungen auch die Gleichungenx1 + x2 + x3 + x4 + 1 = 0,x1 − x2 − x3 − x4 − 3 = 0löst, aber keine sich als lineare Kombination der Vektoren (0, 1, 2, 3) und (3, 2, 1, 0) darstellen laesst.
Aloha :)
x1x2x3x4=Aktion2−3−11034−4−30−Zeile 1017−5−902−3−110−2⋅Zeile 217−3−40017−5−900−17590+Zeile 317−3−40017−5−90 : 170000017−3−40−7⋅Zeile 301−517−91700000010−1617−517001−517−9170\begin{array}{rrrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = & \text{Aktion}\\\hline2 & -3 & -1 & 1 & 0 &\\3 & 4 & -4 & -3 & 0 &-\text{Zeile }1\\0 & 17 & -5 & -9 & 0 &\\\hline2 & -3 & -1 & 1 & 0 &-2\cdot\text{Zeile }2\\1 & 7 & -3 & -4 & 0 &\\0 & 17 & -5 & -9 & 0 &\\\hline0 & -17 & 5 & 9 & 0 &+\text{Zeile }3\\1 & 7 & -3 & -4 & 0 &\\0 & 17 & -5 & -9 & 0 &\colon17\\\hline0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\1 & 7 & -3 & -4 & 0 &-7\cdot\text{Zeile }3\\0 & 1 & -\frac{5}{17} & -\frac{9}{17} & 0 &\\\hline0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\1 & 0 & -\frac{16}{17} & -\frac{5}{17} & 0 &\\[0.5ex]0 & 1 & -\frac{5}{17} & -\frac{9}{17} & 0 &\\\hline\end{array}x1230210010010010x2−3417−3717−17717071001x3−1−4−5−1−3−55−3−50−3−1750−1716−175x41−3−91−4−99−4−90−4−1790−175−179=000000000000000Aktion−Zeile 1−2⋅Zeile 2+Zeile 3 : 17−7⋅Zeile 3Damit können wir die Lösungen angeben:
(x1x2x3x4)=(1617x3+517x4517x3+917x4x3x4)=x317(165170)+x417(59017)=s(165170)+t(59017)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{16}{17}x_3+\frac{5}{17}x_4\\[0.5ex]\frac{5}{17}x_3+\frac{9}{17}x_4\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\frac{x_3}{17}\begin{pmatrix}16\\5\\17\\0\end{pmatrix}+\frac{x_4}{17}\begin{pmatrix}5\\9\\0\\17\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}16\\5\\17\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}5\\9\\0\\17\end{pmatrix}⎝⎜⎜⎜⎛x1x2x3x4⎠⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎛1716x3+175x4175x3+179x4x3x4⎠⎟⎟⎟⎞=17x3⎝⎜⎜⎜⎛165170⎠⎟⎟⎟⎞+17x4⎝⎜⎜⎜⎛59017⎠⎟⎟⎟⎞=s⎝⎜⎜⎜⎛165170⎠⎟⎟⎟⎞+t⎝⎜⎜⎜⎛59017⎠⎟⎟⎟⎞
Im folgenden Teil kannst du nun die gerade gefundenen Koordinaten einsetzen:−1=x1+x2+x3+x4=38s+31t-1=x_1+x_2+x_3+x_4=38s+31t−1=x1+x2+x3+x4=38s+31t−3=x1−x2−x3−x4=−6s−21t\phantom{-}3=x_1-x_2-x_3-x_4=-6s-21t−3=x1−x2−x3−x4=−6s−21tDieses Gleichungssystem wird gelöst durch:s=2153;t=−27153s=\frac{2}{153}\quad;\quad t=-\frac{27}{153}s=1532;t=−15327
Wie kommt man auf das s und t was das Gleichungssystem löst das ist mir noch nicht ganz schlüssig
Man könnte mal die Zeilenstufenform bauen, z.B.
RRef : = (10−1617−51701−517−9170000)\small RRef \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&\frac{-16}{17}&\frac{-5}{17}\\0&1&\frac{-5}{17}&\frac{-9}{17}\\0&0&0&0\\\end{array}\right)RRef : =(10001017−1617−5017−517−90)
und damit eine mögliche Lösungsmenge beschreiben
(x1x2x3x4)=(1617 r+517 s517 r+917 srs)\small \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}\frac{16}{17} \; r + \frac{5}{17} \; s\\\frac{5}{17} \; r + \frac{9}{17} \; s\\r\\s\\\end{array}\right)⎝⎜⎜⎛x1x2x3x4⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛1716r+175s175r+179srs⎠⎟⎟⎞
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