Bestimmen Sie die lokalen Extremstellen der Funktion

Question

wäre für einen Ansatz sehr dankbar !

Aufgabe:

Bestimmen Sie die lokalen Extremstellen der Funktion

f(x,y) = 3x²   - 2x\( \sqrt{y} \) - 8x +y + 8        (y>0)

sowie die Art der Extrema !

Answer 1

Aloha :)

Die möglichen Extremwert-Kandidaten der Funktion$$f(x;y)=3x^2-2x\sqrt y-8x+y+8\quad;\quad y>0$$findest du an den Punkten, bei denen der Gradient verschwindet:

$$0\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\begin{pmatrix}6x-2\sqrt y-8\\-\frac{x}{\sqrt y}+1\end{pmatrix}$$Aus der zweiten Koordinate folgt: \(\quad-\frac{x}{\sqrt y}+1=0\implies x=\sqrt y\).

Aus der ersten Koordinate folgt dann:\(\quad 6x-2x-8=0\implies4x=8\implies x=2\)

Wir haben also einen Extremwert-Kandidaten gefunden: \((2;4)\).

Wir prüfen den Kandidaten, indem wir ihn in die Hesse-Matrix einsetzen:

$$H(x;y)=\begin{pmatrix}6 & -\frac{1}{\sqrt y}\\[1ex]-\frac{1}{\sqrt y} & \frac{x}{2y^{3/2}}\end{pmatrix}\quad\implies\quad H(2;4)=\begin{pmatrix}6 & -\frac{1}{2}\\[1ex]-\frac{1}{2} & \frac{1}{8}\end{pmatrix}$$Ihre Hauptminoren sind \(6\) und \(\frac{1}{2}\). Daher ist die Hesse-Matrix für unseren Kandidaten postitiv definit, sodass ein Minimum vorliegt:$$\text{Minimum bei }(2;4)$$

Answer 2

Wo liegen denn deine Schwierigkeiten. Hast du bereits die Partiellen ableitungen gebildet und gleich Null gesetzt und das gleichungssystem gelöst.

Hier noch eine Kontroll-Lösung

Comments

Achso, danke.

Dann habe ich ja schonmal einen Plan was ich machen muss :)

1. Partielle Ableitungen bilden, Null setzten.

2. Gleichungssystem lösen.

Danke für die schnelle hilfe :)

Answer 3

f(x,y) = 3x^2   - 2x\( \sqrt{y} \) - 8x +y + 8 

\( \frac{df(x,y) }{dx} \)=6x-2\( \sqrt{y} \)-8

\( \frac{df(x,y) }{dy} \)=x*\( y^{-0,5} \)+1

1.)6x-2\( \sqrt{y} \)-8=0

2.)x*\( y^{-0,5} \)+1=0  → x=-\( y^{0,5} \)  in 1.)  -6*(\( y^{0,5} \))  -2\( \sqrt{y} \)-8=0 →\( y^{0,5} \) +1=0

\( y^{0,5} \)=-1|^2

y=1      x=-(\( 1^{0,5} \))=-1

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Irgendwo steckt da ein Fehler.