parameter einer linearen gleichung

Question

Text erkannt:

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem mit einem Parameter $p \in \mathbb{R}$ :
$$\begin{aligned} x+2 y+6 z &=2 \\ -2 \cdot x+8 y &=3 \\ p \cdot x+6 y+8 z &=8 \end{aligned}$$
Geben Sie an, für welche Werte von $p$ dieses LGS eine eindeutige Lösung besitzt.
$p \neq$

Aufgabe:

Problem/Ansatz: Ich bräuchte nur die Lösung allerdings wäre mir ein Ansatz auch ganz nett.

Answer 1

Aloha :)

Ein Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinate der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist:

$$0\ne\left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & 6\\-2 & 8 & 0\\p & 6 & 8\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\-2 & 12 & 12\\p & 6-2p & 8-6p\end{array}\right|=12(8-6p)-12(6-2p)=24(1-2p)$$Für $p\ne\frac{1}{2}$ sind die Lösungen eindeutig.

Comments

Wie genau kommt man auf das 2. LGS daneben?

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2-mal die erste Spalte von der zweiten Spalte subtrahieren.

6-mal die erste Spalte von der dritten Spalte subtrahieren.

Ich dachte, das erkennt man an den $-2p$ und $-6p$ in der dritten Zeile, aber ich hätte es wohl doch besser dazu geschrieben ;)

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Könntest du mir auch helfen mit meiner Aufgabe? Habe die Frage online gestellt :D