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Aufgabe:

Bestimmen Sie die Anzahl der linearen Abbildungen f : R3→R3 mit f4 = -idR^3 .


Problem/Ansatz:

Nach einem Beispiel in der Vorlesung muss man bei der Aufgabe einfach

g(x) = x + idR^3

Also g(x)=x^4+1 ?

Und wenn das stimmt haben wir es dann immer weiter in irreduzible Linearfaktoren zerlegt nur weiter zerlegen geht hier doch nicht mehr oder ?

Oder betrachtet man dann x+1,x2+1,x3+1 und x4+1 ?

von

Weil x^4+1 ist ja auch (x+1)^4

...weiter zerlegen geht hier doch nicht mehr oder ?

\(x^4+1=(x^2+\sqrt2\,x+1)\cdot(x^2-\sqrt2\,x+1)\).

Okay danke und wären das dann die linearen Abbildungen oder wie ist das in der Aufgabe gemeint?

Ich versuche mal einen anderen Ansatz: Wenn \(f\) eine lineare Abbildung mit den oben genannten Eigenschaften ist, dann hat \(f\) mindestens einen Eigenwert \(\lambda\in\mathbb R\). Für diesen müsste \(\lambda ^4=-1\) gelten. Demnach dürfte es keine derartige Abbildung geben.

ja weil es ja nicht in den Komplexen Zahlen liegt die Abbildung also wäre die Anzahl der Linearen Abbildungen gleich 0?

Du meinst, \(\lambda\) kann nicht in den reellen Zahlen liegen, also muss die Anzahl gleich Null sein.

Ja genau das meine ich

Vielen Dank

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