Beweis mit Vektorräumen und linearen Abbildungen

Question

Aufgabe:

Beweis mit Vektorräumen und linearen Abbildungen

Problem/Ansatz:

V, W sind K-Vektorräume. f,g: V -> W sind lin. Abbildunen. h: V -> W def. durch h(v)=f(v)+g(v)

Nun soll man zeigen/widerlegen:

a) Wenn U ein Unterraum von W ist, so dass U Teilmenge im f und U Teilmenge im g, dann gilt auch U Teilmenge im h.

b) Wenn dim ker f <= dim ker g und V endlich-dimensional, dann gilt auch dim im g <= dim im f.

Konnte etwa Ähnliches wie a) bereits beweisen, nur mit ker f und ker g, aber beim Bild weiß ich nicht weiter. Bei b weiß ich überhaupt nicht, wie ich vorgehen soll.

Answer 1

a) ist falsch. Betrachte \( U=<\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}> \)

und \( f(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}) =  \begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix} \)

und \( g(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}) =  \begin{pmatrix} 0\\-y\\z \end{pmatrix} \)

Dann ist \( h(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}) =  \begin{pmatrix} x\\0\\z \end{pmatrix} \)

Offenbar ist U Teilmenge von beiden Bildern, aber keine Teilmenge von im h.