Mehrdimensionale Integrale, Riemann-Integrierbarkeit und Berechnung

Question

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Bei meiner Aufgabe geht es um mehrdimensionale Integrale.

Es ist:

$A:=[0,1]\text{ x }[0,1] \subseteq \mathbb{R} ^2 \\f:A\rightarrow \mathbb{R}, (x,y) \rightarrow x^2+y^3-2xy^2$

Es soll begründet werden, warum die Funktion f Riemann-integrierbar ist und anschließend das Integral $\int \limits_{A}^{}f(x,y)d(x,y)$ berechnet werden.

Weiter ist ein Quader und die Funktion gegeben:

$Q:=A\text{ x }[0,5] \subseteq \mathbb{R}^3 \\ g:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}, g(x,y,z):=f(x,y)*z = (x^2+y^3+2xy^2)*z$

Es soll begründet werden, warum die Funktion g Riemann-integrierbar ist und anschließend das Integral $\int \limits_{Q}^{}g(x,y,z)d(x,y,z)$ berechnet werden.

Wie gehe ich hier am besten vor? Wie könnte man das am besten begründen?
Vielen Dank schonmal!

Answer 1

Begründen, dass die Funktion Riemann-integrierbar ist, kannst du einfach über das Argument der stetigkeit machen. Sowohl bei der a als auch bei der b

Wenn du das Integral berechnen willst, musst du einfach bei der a) erste nach einer Variablen integrieren (z. B. X) und dann die Intervallgrenzen entsprechend einsetzen. Anschließend nach y integrieren und wieder die Intervallgrenzen einsetzen

b läuft analog nur, dass jetzt ein dreifach Integral vorliegt.

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Vielen Dank für die Antwort!