Reihe auf (absolute) Konvergenz untersuchen

Question

Aufgabe:

Untersuche folgende Reihe auf Konvergenz:

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a+\frac{1}{k})^{k}$, wobei a ≥ 0.

Problem/Ansatz:

Nach dem Wurzelkriterium habe ich mir überlegt, dass die Reihe für a < 1 absolut konvergent wäre und für a > 1 müsste sie sogar divergent sein.

Meine Frage ist nun aber, ob es eine Möglichkeit gibt zu zeigen, dass die Reihe für alle a konvergent oder divergent ist und ich diese noch nicht sehe?

Gegebenenfalls ergibt sich ein Abschätzung mit dem Minoranten- oder Majorantenkriterium, die ich noch nicht gefunden habe?

Answer 1

Hallo

mit der geometrischen Reihe als konvergente Majorante hast du |a+1/k|<1

und damit a<1 denn dann ist ab einem n für alle k>n a+1/k<1

Gruß lul