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Ich muss die folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz untersuchen:

blob.png

Text erkannt:

(a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} n !}{n^{n}} \)


 \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{2^n} \) * \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n! / n^n} \)


\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{2^n} \)  ist ja eine geometrische Reihe. Da |2| > 1 ist sie nicht konvergent, oder?


\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n! / n^n} \) ist nach dem Quotientenkriterium konvergent. (siehe https://www.mathelounge.de/399911/untersuchen-folgenden-reihen-konvergenz-absolute-konvergenz)


Ist diese Reihe insgesamt konvergent oder divergent?


Als Hinweis wurde gegeben:

blob.png

Text erkannt:

(b) Es sei \( \left(a_{n}\right) \) eine reelle Folge mit \( a_{n} \neq 0 \) für \( n \in \mathbb{N} \). Weiter sei die Folge \( \left(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)_{n=1}^{\infty} \) beschränkt. Dann kann man zeigen, dass die folgende Ungleichungskette gilt:
\( \liminf _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \leq \liminf _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \leq \limsup _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \leq \limsup _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \)
Z̈igen Sie uncer verwenduro von \( (\star) \), dass \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n !}}= \) e gilt.

Wie kann man ihn verwenden?

von

Bevor hier gleich jemand die Lösung posten, solltest Du die Zeit nutzen, um zu überlegen, dass Deinn Ansatz wesentlich falsch ist.

Welcher Ansatz ist falsch?

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{2^n} \) * \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n! / n^n} \) ist ungleich die Reihe in der Aufgabenstellung oder?

Genau, das ist der Punkt.

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Aloha :)

$$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\quad;\quad a_n\coloneqq\frac{2^n\,n!}{n^n}$$

Zur Anwendung des Tipps sind mir zu viele Voraussetzungen zu zeigen, daher verwende ich hier das Quotientenkriterium und schätze wie folgt ab:

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{\frac{2^{n+1}\,(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{2^n\,n!}{n^n}}=\frac{\overbrace{2\cdot2^{n}}^{=2^{n+1}}\cdot\,\overbrace{n!\cdot(n+1)}^{=(n+1)!}}{\underbrace{(n+1)^{n}\cdot(n+1)}_{=(n+1)^{n+1}}}\cdot\frac{n^n}{2^n\cdot n!}=\frac{2n^n}{(n+1)^n}=2\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$$$$\phantom{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}=2\left(\frac{n+1-1}{n+1}\right)^n=2\left(\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}\right)^n=2\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n$$$$\phantom{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}=\frac{2\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)}\stackrel{(n\to\infty)}{\to}\frac{2\cdot e^{-1}}{1-0}=\frac2e<1$$Damit ist das Quotientenkriterium erfüllt, sodass die Summe konvergiert.

von 123 k 🚀

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